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Hallo, ich soll zeigen, dass die Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(-n)^n}$ konvergiert. Ich möchte dazu das Quotientenkriterium anwenden, also sei $a_n = \frac{n!}{(-n)^n}$, dann gilt:
$$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{(n+1)! \cdot (-n)^n}{-(n+1)^{n+1} \cdot n!}|=|\frac{(n+1)n! \cdot (-n)^n}{-(n+1)^{n+1} \cdot n!}|=|\frac{(-n)^n}{-(n+1)^n}|=|(\frac{n}{n+1})^n|=|(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n|$$
Jetzt ist: $\lim\limits_{n\to\infty}|(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n|=|\frac{1}{e}|<1$ an sich erstmal genau was ich zeigen möchte. Da ich zuvor allerdings das Quotientenkriterium als "$\lim \sup\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \Rightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n$ konvergiert absolut" zeigen sollte gehe ich mal davon aus, dass ich hier ebenfalls mit dem lim sup arbeiten soll.

Meine Frage: Kann ich irgendwie sagen, dass hier der lim = lim sup ist oder muss ich zwangsläufig irgendwelche HP finden (Bin was lim sup/inf angeht leider noch nicht so bewandert)?

Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.
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Hallo,

das sieht doch alles wunderbar aus. Dir ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler passiert. Im Nenner heißt es $ \frac \ldots {(-(n+1))^n\cdot n!} $ Aber du hast trotzdem richtig weitergerechnet, also ist das nicht so Schlimm. Es wäre nur beim kürzen von $(n+1)$ und $-(n+1)$ ein Vorzeichen dazugekommen. Aber das spielt aufgrund der Betragsstriche keine Rolle.

Der Limes Superior ist immer gleich dem Grenzwert, solange ein Grenzwert existiert. Genauer: Genau dann wenn Limes Inferior und Limes Superior gleich sind existiert der Grenzwert und er ist gleich dem Limes Inferior und Limes Superior. Da wir wissen, dass $\frac 1 e$ tatsächlich der Grenzwert der Folge ist, existiert der Grenzwert und der Limes Superior muss gleich dem Grenzwert sein. 

Grüße Christian
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