Ungleichung beweisen (Vollständige Induktion)

Aufrufe: 35     Aktiv: 03.09.2021 um 23:29

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Hallo zusammen,

ich sitze gerade an dieser Aufgabe:



und frage mich wie man zum Schluss kommt. Ich habe die Ungleichung beim Induktionsschritt


bereits folgendermaßen umgeformt: 


nun würde dies aber nur für n>3 gelten und nicht für n=3. Somit wäre die Ungleichung doch gar nicht für alle n erfüllt?! Wo liegt hier mein Fehler?
Vielen Dank schon mal.
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Schüler, Punkte: 2

 

Die Aussage stimmt sogar für $n=2$, denn $\frac{2^2}{1}=4<\frac{2^4}{2}=8$.   ─   cauchy 03.09.2021 um 23:08
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Stand Deiner Rechnung ist:
Ungl. erfüllt für $n=3$ (Ind. Anf., hast Du hoffentlich gemacht?!).
Ind.Schritt nur erfüllt für $n>4$.

Zunächst mal ist die vollst. Ind. eine Beweismethode. Wenn sie nicht zum Ziel, hat halt der Beweis nicht geklappt. Das heißt aber nicht. dass die Aussage falsch ist.
Es kann sein, dass die Aussage falsch ist, es kann sein, dass sie richtig ist, aber vollst. Ind. keine geeignete Beweismethode ist.
Die Aussage ist halt nicht bewiesen, aber es ist nicht bewiesen, dass die Aussage falsch ist. Mach Dir den Unterschied klar.

Das Problem behebt man hier so: Prüfe die Ungl. für $n=4$. Wenn das erfüllt ist, hast Du mit vollst. Ind. bewiesen, dass die Aussage für $n\ge 4$ gilt. Da Du es auch für $n=3$ nachgewiesen hast, gilt sie insgesamt für $n\ge 3$.
Wie cauchy oben schon gesagt hat, gilt sie auch für $n=2$.
Insgesamt gilt die Ungleichung also nachgewiesenermaßen für alle $n\ge 2$.
Und sogar noch mehr: Sie gilt auch für $n=1$, denn per Def. ist $\sum\limits_{k=1}^0 ... =0$ (sog. "leere Summe").
Also: Ungleichung erfüllt für alle $n\ge 1$.
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