Partielle Integration und auflösen

Aufrufe: 254     Aktiv: vor 10 Monaten, 3 Wochen

0

Hallo zusammen

Ich verstehe folgendes nicht, warum kann man hier Linearität anwenden? Wie kommt man auf ..../n^2 + 1? Warum? Ich verstehs einfach nicht.

 

gefragt vor 10 Monaten, 3 Wochen
s
sayuri,
Student, Punkte: 108

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

Hallo,

Linearität bedeutet, das 

$$ f(\lambda \cdot x_1 + x_2) = \lambda f(x_1) + f(x_2) $$

gilt. Das Integral ist ein linearer Operator, denn wir dürfen sowohl einen konstanten Vorfaktor vor das Integral ziehen, als auch eine Summe als Integrand in eine Summe von Integralen zerlegen. 
Wir nutzen hier also die Linearität um \( n^2 \) vor das Integral zu holen. Weiter wird folgendermaßen umgeformt

$$ \begin{array}{ccccl} & \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x & = &  e^x \cos(nx) + ne^x \sin(nx) - n^2 \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x  & | + n^2 \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x  \\ \Rightarrow & 1  \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x + n^2 \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x & = &  e^x \cos(nx) + ne^x \sin(nx) \\ \Rightarrow & (n^2 + 1)  \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x & = & e^x \cos(nx) + ne^x \sin(nx) & | \div (n^2 +1) \\ \Rightarrow & \int e^x \cos(nx) \mathrm{d}x & = & \frac {e^x \cos(nx) + ne^x \sin(nx)} {n^2 +1} \end{array} $$

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monaten, 3 Wochen
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.21K
 

Oh super vielen Dank!   ─   sayuri, vor 10 Monaten, 3 Wochen

Sehr gerne :)   ─   christian_strack, vor 10 Monaten, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden