Achte sorgfältig auf die Begriffe: Spaltenraum gibt es hier nicht, weil wir keine Matrix haben. Du meinst den Bildraum (der ist richtig angegeben). Woher hast Du den kern?
Der Satz unten ist unvollständig. Ganz oben steht $f(v_1,v_3)$, das sieht merkwürdig aus. Was ist nun der Defbereich von $f$? Wende dann den Dimensionssatz an.
Dein kern ist falsch (wie Du durch einsetzen leicht prüfen kannst).
Der Nullvektor ist immer Element des Nullraums einer lin. Abb., egal ob diese injektiv ist oder nicht.
Also, geh das nochmal gründlich an und schreib bitte von oben nach unten mit Begründungen.