Sinussatz verschiedene Formeln

Erste Frage Aufrufe: 84     Aktiv: 11.09.2022 um 12:47

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Wieso verwendet Daniel Jung im Sinussatz 2 Formeln.
Seite(x)/Seite(y)=sin(x)/sin(y)

Oder sin(x)/seite(x)=sin(y)/seite(y)

Wo ist der Unterschied oder wendet man die in nur bestimmten Fällen an?
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Im Grunde gibt es keinen Unterschied zu den Formeln. Da der Sinussatz eine Verhältnisgleichung ist, ist es egal wie man die Formeln aufschreibt solange das Verhältnis stimmt. Also Seite zu Seite liegt im gleichen Verhältnis wie entsprechenden Winkel. Oder Winkel zur entsprechender Seite liegt im gleichen Verhältnis wie ein anderer zu seiner entsprechenden Seite.

Wann nimmt man welche Formel? Das hängt davon ab was gesucht ist. Man stellt die Formel wenn möglich so auf das die gesuchte Größe auf der linken Seite im Zähler steht, damit man lediglich einer Rechnung die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen kann. Ein Beispiel: Gegeben sind die Seite $a$ sowie die Winkel $\alpha$ Und $\beta$. Gesucht ist also die Seite $b$ damit man die Verhältnisgleichung (Sinussatz) aufstellen kann. Nun schreibt man die gesuchte Größe links in den Zähler so das das Verhaltnis stimmt, z.B. $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$. Dann erhältst du mit lediglich einer Rechnung deine Gleichung welche nach $b$ umgestellt ist, also $b=\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\cdot a$.

Stellt man die Verhältnisgleichung anders auf, z.B. $\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{a}{\sin(\alpha)}$ erhält man auch nach nur einer Äquivalenzumstellung die Gleichung $b=\dfrac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\beta)$, welche dieselbe Gleichung ist wie im anderen Beispiel.

Warum die gesuchte Größe in den Zähler? Bei z.B. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$ müsstest du erst dreimal die Gleichung umformen um auf deine nach $b$ umgestellte Gleichung zu kommen. Das führt an sich auch ans Ziel aber dauert länger und ist fehleranfälliger falls man beim umstellen Fehler macht.

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Wenn du die Gleichung  $\frac{x}{y}=\frac{sin(x)}{sin(y)}$ umstellst, also zunächst mit den Nennern multiplizierst und anschließend passend dividierst, kommst du auf die zweite Form
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