Gleichung einer Geraden unter Bedingungen aufstellen

Erste Frage Aufrufe: 28     Aktiv: 30.04.2021 um 01:55

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Gegeben ist die Gerade g:x=(2I0I5)+r*(0I1I8) und es wird eine Gerade h gesucht, dessen Richtungsvektor orthogonal zum RV von g verläuft. Die Gerade h hat außerdem einen Abstand von 2 zur Gerade g. Ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter und bitte euch um Hilfe.
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Diese Gerade \( h \) hat also einen Richtungsvektor, der orthogonal auf \( (0;1;8) \) stehen soll.
Eine Möglichkeit ist das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) \( (0;1;8) \) mit irgendeinem anderen Vektor zu nehmen. Beispielsweise mit \( (1;0;0) \). Das Kreuzprodukt \( a\times b \) steht immer orthogonal auf den beiden Vektoren \( a\) und \(b\). Wichtig ist nur, dass nicht der Nullvektor rauskommt, denn sonst hast du einen Vektor gewählt, der linear abhängig zu \( (0;1;8) \) ist.
Nehmen wir \( (1;0;0) \), kommt als Ergebnis \( (0;8;-1) \) heraus.

Wir haben einen Richtungsvektor aber es fehlt noch ein geeigneter Stützvektor. Was passiert, wenn wir das Kreuprodukt zwischen den Richtungsvektoren \( (0;8;-1) \) und \( (0;1;8) \) nehmen? Dann erhalten wir einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren orthogonal steht. Heraus kommt der Vektor \( (65;0;0) \).

Als Stützvektor für h beginnen wir nun im Punkt \( (2;0;5) \) und gehen in Richtung  \( (65;0;0) \) eine Distanz von 2 Einheiten. Heraus kommt der Vektor \( (2;0;5) + \frac{2}{\Vert(65;0;0)\Vert}(65;0;0) = (4;0;5) \). Damit sind die Stützvektoren von g und h genau 2 Einheiten weit entfernt. Überlege dir, warum alle anderen Punkte weiter entfernt liegen müssen.

Dabei ist es relevent, dass \( (0;1;8) \perp (0;8;-1) \perp (65;0;0) \perp (0;1;8) \).
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