Ist eine hermitische 2x2 Matrix die komplexe Eigenwerte hat positiv definit?

Aufrufe: 869     Aktiv: 18.06.2020 um 13:02
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In meinem Skript steht: "Genau dann wenn A nur positive Eigenwerte hat ist A positv definit" Heißt das das wenn A  4+i und 4-i als EW hat positiv definit ist oder nicht? 

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Eine hermitische Matrix hat nur reelle Eigenwerte. D.h. dein Beispiel funktioniert gar nicht. (Und die Quantenmechanik würde in sich zusammenbrechen, aber das nur so am Rande)

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verstehe naja, auf jeden fall ist sie symmetrisch und sieht wie folgt aus: a11=4, a12=i, a21=i, a22=4   ─   bukubuku 17.06.2020 um 20:02
Und was willst du nun wissen? Hermitisch ist die Matrix schon mal nicht, da du komplexe Eigenwerte hast. Komplexe Zahlen kannst du nicht in positiv (größer Null) oder kleiner (kleiner Null) anordnen. Das geht nur mit reellen Zahlen.   ─   gardylulz 17.06.2020 um 20:06
ich will nur wissen ob sie positiv definit ist oder nicht bzw. warum nicht, also weil die matrix komplexe eigenwerte hat oder warum?   ─   bukubuku 17.06.2020 um 20:14
Ja, weil es komplexe Eigenwerte hat und man komplexe Zahlen weder in positiv noch negativ einordnen kann und positiv definit bedeutet, dass alle Eigenwerte positiv sind. Geht einfach hier nicht.   ─   gardylulz 17.06.2020 um 20:17
@ louis.kattner: Ich glaube, der Knackpunkt liegt darin, dass die von dir angegebene Matrix nicht hermitesch ist, sondern symmetrisch. Hermitesch und symmetrisch sind bei reellen Matrizen das gleiche, aber nicht bei komplexen. Symmetrisch bedeutet `A^T = A`, hermitesch bedeutet `A^T = overline A`, wobei der Strich die komplexe Konjugation bedeutet. Damit deine Matrix hermitesch würde, müsstest du einen der beiden Einträge `i` durch `-i` ersetzen. Die Eigenwerte wären dann die positiven reellen Zahlen 5 und 3.   ─   digamma 17.06.2020 um 21:10
Vielen Dank euch beiden!   ─   bukubuku 18.06.2020 um 13:02

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