Du kennst vielleicht die Aufgaben aus der Physik, wo man aus einem v-t-Diagramm den zurückgelegten Weg s rekonstruieren soll? Einerseits erkennt man, dass der zurückgelegte Weg der Fläche unter dem v-t-Diagramm entspricht. Andererseits ist die Geschwindigkeit v(t) die Ableitung des zurückgelegten Wegs s(t), also der zurückgelegte Weg s(t) eine Stammfunktion der Geschwindigkeit v(t).

Das geht auch bei anderen Änderungsraten. Wenn die Funktion f(t) angibt, wieviel Wasser pro Zeiteinheit in ein Becken fließt, dann sieht man am Flächeninhalt der Fläche unter dem Graph, wieviel Wasser insgesamt ins Becken geflossen ist. Auf der andern Seite ist die Zuflussrate des Wassers die Ableitung der Wassermenge, also die Wassermenge (in Abhängigkeit von der Zeit) eine Stammfunktion der Änderungsrate.

Hilft das?

Die Antwort besteht aus zwei Teilen:

1. Wenn der Funktionsgraph im Intervall`[a;b]`  oberhalb der x-Achse liegt, also `f(x) \ge 0`, dann berechnet man den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph im Bereich zwischen a und b mit Hilfe des Integrals `int_a^b f(x)  dx`. (Liegt der Funktionsgraph unterhalb der x-Achse, ist das Integral negativ und man muss den Betrag nehmen. Schneidet der Graph die x-Achse, dann muss man die Fläche in die Teile zerlegen, wo der Graph unterhalb bzw. oberhalb verläuft.)

2. Das Integral berechnet man mit Hilfe einer Stammfunktion. Ist `F(x)` eine Stammfunktion von `f(x)`, so gilt `int_a^b f(x)  dx = F(b) - F(a)`