Es gilt zu zeigen, dass \( A \) kompakt ist (denn dann ist das Infimum von \(A\) auch dessen Minimum). Sei dazu \( (d(f(x_n),x_n))_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( A \). Wir müssen nun zu dieser Folge eine konvergente Teilfolge finden.

Per Definition von \( A \) ist \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( X \). Da \( X \) kompakt ist, erhalten wir somit eine konvergente Teilfolge \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \). Wir bezeichnen ihren Grenzwert mit \( x \).

Wir zeigen nun, dass \( (d(f(x_{n_k}),x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}} \) die gewünschte konvergente Teilfolge ist. 

Aus der Dreiecksungleichung folgt

\( d(f(x_{n_k}),x_{n_k}) \le d(f(x_{n_k}),f(x)) + d(f(x),x) + d(x,x_{n_k}) \)

Mit \( d(f(x_{n_k}),f(x)) < d(x_{n_k},x) \) und \( d(x,x_{n_k}) = d(x_{n_k},x) \) erhalten wir damit

\( d(f(x_{n_k}),x_{n_k}) - d(f(x),x) < 2 d(x_{n_k},x) \)

Analog kannst du dir mal überlegen, dass auch \( d(f(x),x) - d(f(x_{n_k}),x_{n_k}) < 2 d(x_{n_k},x) \) gilt. Wenn du das hast, dann erhälst du also

\( \vert d(f(x_{n_k}),x_{n_k}) - d(f(x),x) \vert < 2 d(x_{n_k},x) \)

und somit folgt die Konvergenz der Teilfolge \( (d(f(x_{n_k}),x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}} \) gegen \( d(f(x),x) \) aus der Konvergenz von \( (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \) gegen \( x \).

Ich hoffe, das hat dir soweit geholfen :)