Summierte Quadratur - Verständnisfrage

Aufrufe: 421     Aktiv: 26.01.2021 um 22:09
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Hallo, 

es geht um die summierte Quadratur. Ich hab's eigentlich einigermaßen verstanden. Auf die Fragestellung, warum eine summierte Quadratur besser ist, hätte ich gesagt, dass das Intervall geschickt unterteilt wird und man somit sich der exakten Fläche nähert, weil einzelne Flächenstücke besser in einer von einer Funktion eingeschlossenen Fläche passt. Grafisch sieht man das noch besser. 

Aber mein Professor hat jetzt gesagt, dass durch diese Unterteilung des Intervalls und somit Verteilung der Stützstellen die Qualität der Quadraturgewichte verbessert wird. Was Quadraturgewichte sind weiß ich. Aber wie kann ich mir diese Begründung vorstellen? 

noch eine Frage: Die Fehlerordnung der summierten Trapezregel ist doch 3 weil die Formel für Fkten von Ordnung 2 exakt ist? 

Danke für jede Antwort!

Edit: 

Hier ist der Teil, wo steht, dass die QG immer positiv sind. In der VL hat er aber erzählt, dass sie auch negativ sein können.

Leider finde ich den Auszug gerade nicht, was Du wolltest. Aber ich habe das gefunden: 

hier erklärt er, warum die summierte Version besser ist... Das finde ich noch komplizierter:/

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Man möchte die Genauigkeit der Quadraturformeln verbessern, um eine vorgegebene Fehlerschranke einzuhalten. Eine Idee ist, einfach mehr Stützstellen zu verwenden. Wenn ich mich richtig erinnere, passiert es aber bei vielen Quadraturformeln, dass ab einer bestimmten Anzahl von Stützstellen Gewichte negativ werden können. Das will man unbedingt vermeiden, weil die Verfahren dann numerisch instabil werden. Außerdem müsste man dann alle Gewichte für große Anzahlen von Stützstellen vorher berechnen und tabellieren. Anstatt die Anzahl der Stützstellen zu vergrößern, macht man daher eine Unterteilung in Teilintervalle, in denen man jeweils eine bestimmte bekannte Formel mit wenigen Stützstellen anwendet. Das hat auch den Vorteil, dass man ein einfaches Adaptationsverfahren erhält. Dort, wo der Fehler groß ist (viel Oszillation z.B.), macht man die Unterteilung feiner, bis man die geforderte Fehlerschranke erreicht.

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Dass die Gewichte trotz größerer Genauigkeit positiv bleiben ist doch eine wichtige Verbesserung der Qualität der Quadratur. Ich könnte mir vorstellen, dass es sogar innerhalb des Bereiches von positiven Gewichten noch qualitative und quantitative Unterschiede zwischen Verfahren mit verschiedenen Stützstellenzahlen gibt. Da ich aber kein Numerikspezialist bin, kann ich dazu nicht mehr sagen.   ─   slanack 26.01.2021 um 18:31

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