Hallo,
dein Ansatz ist an sich korrekt. Du musst jetzt nur unterschiedliche Fälle bestimmen.
Die erste und vierte Gleichung liefert uns
$$ c = 0 \lor f=0 $$
Die zweite Gleichung liefert uns
$$ a=d \lor f =0 $$
Daraus kannst du jetzt eine Fallunterscheidung starten und für die verschiedenen Fälle durch die dritte Gleichung Lösungen erhalten.
Zum Beispiel der erste Fall ist
$$ c = f = 0 \land a = d = \mathrm{bel.} $$
Was bedeutet das für \( e,g,h \)?
Grüße Christian
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Welche Fälle gibt es noch die betrachtet werden müssen? ─ christian_strack 13.10.2020 um 07:37
1. Fall:
$$ c=f=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Ich würde nun weiter so vorgehen, dass du \( a,c,d \) und \( f \) wählst. Die restlichen Koeffizienten ergeben sich dann immer durch die dritte Gleichung und so deckst du alle Fälle ab. Wenn du jetzt anfängst \( c,e,g \) und \( h\) zu wählen kommst du am Ende durcheinander.
Deine zweite Antwort ist deshalb besser. Und da hast du recht! Wenn \( a=d \) und \( c=0 \) sind sofort alle Gleichungen erfüllt. Wir sehen hier tatsächlich das unser erster Fall ein Speziallfall von diesem zweiten Fall ist.
Wir können also die ersten beiden Fälle zusammenfassen zu:
$$ c=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,f,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Zum Verständnis: wir erhalten also damit die beiden Matrizen
$$ M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} , \quad A = \mathrm{bel.} $$
\( M \) ist also in diesem Fall unsere erste gesuchte Matrix, denn sie soll ja für alle \( A \in M_{22} \) gelten und das tut sie in diesem Fall (Aus dem eigentlichen ersten Fall, hatten wir eine Einschränkung für \( f \) und deshalb hätte dieser Fall uns keine gesuchte Matrix geliefert :))
Wenn wir uns nun die erste Gleichung angucken, haben wir alle Fälle mit \( c=0 \) abgedeckt. Also wählen wir als nächstes \( c \neq 0 \). Was bedeutet dass dann für \( f\)?
Wenn wir dann eine Wahl für \( f \) getroffen haben, welche Fälle finden wir für \( a \) und \( d\)? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:05
Mein 3. Fall wäre dann c = 0 und f ungleich 0 oder? ─ janaselb 13.10.2020 um 13:24
Jetzt betrachte aber nochmal deine Aufgabenstellung. Was bedeutet das wenn \( f=0 \) ist? ─ christian_strack 13.10.2020 um 13:44
$$ A = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & h \end{pmatrix} $$
und das sind eben nicht alle 2x2 Matrizen.
Es sind nur alle Koeffizienten von \( A \) beliebig, wenn \( c=0 \) und \( a =d \). :) ─ christian_strack 13.10.2020 um 15:12
Wenn doch nochmal eine Rückfrage kommt, dann melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 13.10.2020 um 16:31