Matrix Herleiten, so dass MA = AM gilt

Aufrufe: 119     Aktiv: vor 1 Monat, 1 Woche

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Hallo ihr Lieben,

ich habe folgende Aufgabe und komme gerade nicht weiter (vermute mal ein doofer Gedankenfehler):

 

Mein bisheriger Ansatz sieht wie folgt aus:

Ab hier hänge ich jetzt und weiß gerade nicht weiter.

Ich würde mich über ein paar Tips freuen! :-)

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
j
janaselb,
Punkte: 16

 
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1 Antwort
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Hallo,

dein Ansatz ist an sich korrekt. Du musst jetzt nur unterschiedliche Fälle bestimmen.

Die erste und vierte Gleichung liefert uns

$$ c = 0 \lor f=0 $$

Die zweite Gleichung liefert uns

$$ a=d \lor f =0 $$

Daraus kannst du jetzt eine Fallunterscheidung starten und für die verschiedenen Fälle durch die dritte Gleichung Lösungen erhalten. 

Zum Beispiel der erste Fall ist

$$ c = f = 0 \land a = d = \mathrm{bel.} $$

Was bedeutet das für \( e,g,h \)?

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.04K
 

Ich habe nun meine 3. Gleichung etwas zusammengefasst und komme dann auf \(c(e-h)+g(d-a)=0\) Wenn ich nun meine Bedingungen einsetze dann komme ich doch auf \(0=0\) oder betrachte ich die Teilausdrücke und schaue mir an wann diese jeweils 0 werden? Weil dann hätte ich \(e = h \land g = 0\).   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Dadurch das \( c=0 \) und \( d=a \) ist die Gleichung sofort erfüllt. Somit kann auch beispielsweise \( e = 1 \) und \( h=2 \) gelten. Durch diesen ersten Fall sind alle Gleichungen erfüllt und wir können die restlichen Koeffizienten komplett beliebig wählen.
Welche Fälle gibt es noch die betrachtet werden müssen?
  ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Dadurch, dass ich mit den Bedingungen die Gleichung nicht weiter vereinfachen kann wäre das für den ersten Fall gelöst? Somit kann ich jeden Koeffizienten beliebig wählen und das Ergebnis geht immer auf (habe es mal nachgerechnet). Als zweiten Fall würde ich sagen \( e=h \land c=g=0 \)?   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Ich hab etwas rumgeschmiert und nachgerechnet. Wenn ich die Bedingung \(a=d \land c=0\) nutze, dann ist es an sich egal, welche Werte ich für \(e,f,g,h\) einsetze, weil die Bedingung \(MA=AM\) immer erfüllt zu sein scheint. Am Ende habe ich dann immer \(a\) mal eine beliebige Matrix aus \(M_{22}\) oder nicht?   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Genau das wäre es dann für den ersten Fall.
1. Fall:
$$ c=f=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,g,h \ \mathrm{bel.} $$

Ich würde nun weiter so vorgehen, dass du \( a,c,d \) und \( f \) wählst. Die restlichen Koeffizienten ergeben sich dann immer durch die dritte Gleichung und so deckst du alle Fälle ab. Wenn du jetzt anfängst \( c,e,g \) und \( h\) zu wählen kommst du am Ende durcheinander.

Deine zweite Antwort ist deshalb besser. Und da hast du recht! Wenn \( a=d \) und \( c=0 \) sind sofort alle Gleichungen erfüllt. Wir sehen hier tatsächlich das unser erster Fall ein Speziallfall von diesem zweiten Fall ist.
Wir können also die ersten beiden Fälle zusammenfassen zu:
$$ c=0 \land a=d = \mathrm{bel.} \land e,f,g,h \ \mathrm{bel.} $$
Zum Verständnis: wir erhalten also damit die beiden Matrizen
$$ M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} , \quad A = \mathrm{bel.} $$
\( M \) ist also in diesem Fall unsere erste gesuchte Matrix, denn sie soll ja für alle \( A \in M_{22} \) gelten und das tut sie in diesem Fall (Aus dem eigentlichen ersten Fall, hatten wir eine Einschränkung für \( f \) und deshalb hätte dieser Fall uns keine gesuchte Matrix geliefert :))

Wenn wir uns nun die erste Gleichung angucken, haben wir alle Fälle mit \( c=0 \) abgedeckt. Also wählen wir als nächstes \( c \neq 0 \). Was bedeutet dass dann für \( f\)?
Wenn wir dann eine Wahl für \( f \) getroffen haben, welche Fälle finden wir für \( a \) und \( d\)?
  ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Wenn c ungleich 0 ist, dann ist f trotzdem noch 0. Wenn ich das dann in meine 2. Gleichung einsetze können a und d beliebig sein, da es nichts am Resultat ändert. Setze ich diese Erkenntnis in meine 3. Gleichung ein komme ich auf \( c(e-h) + g(d-a) = 0\). Um diese Gleichung zu erfüllen müssen \(e-h=0 \land g=0\) sein, sprich e=h und g=0.
Mein 3. Fall wäre dann c = 0 und f ungleich 0 oder?
  ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Ich glaube du hast es am Ende falsch rum geschrieben. Wenn \( c\neq 0 \) ist, dann muss \( f=0 \) sein. Ansonsten ist es richtig. :)
Jetzt betrachte aber nochmal deine Aufgabenstellung. Was bedeutet das wenn \( f=0 \) ist?
  ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Ach oder meintest du 3ter Fall, weil wir ja schon die ersten beiden zusammengelegt haben? Dann stimmt alles. Trotzdem versuch einmal die letzte Frage zu beantworten :)   ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Wenn ich f = 0 setze, hätte ich dann nicht so etwas wie A = M ? Weil alle Koeffizienten beliebig wären, außer mein oberer rechter Wert der Matrix?   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Wir wollen die Matrix \( M \) so aufstellen, sodass die Gleichung für alle \( A \in M_{22} \) gilt, also alle 2x2 Matrizen. Was passiert denn wenn wir \( f=0 \) als Einschränkung wählen?   ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Ich muss zugeben, dass ich am Anfang die Aufgabenstellung nicht zu 100% richtig betrachtet habe. Wir sind nämlich ab diesem Punkt schon fertig. Kommst du drauf wieso? :)   ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Weil wir mit der Matrix M aus dem 1. Fall die Gleichung für alle Matrizen A erfüllt ist.   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Jaein. Auch, aber vor allem aber weil wir für jeden weiteren Fall die Matrix \( A \) einschränken müssen. Denn ist \( c \neq 0 \), dann muss \( f=0 \) sein und die Gleichung gilt nur noch für alle Matrizen der Form
$$ A = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & h \end{pmatrix} $$
und das sind eben nicht alle 2x2 Matrizen.
Es sind nur alle Koeffizienten von \( A \) beliebig, wenn \( c=0 \) und \( a =d \). :)
  ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche

Erst einmal vielen Dank für deine Hilfe und dein Durchhaltevermögen! Ich werde das nachher nochmal in Ruhe nachrechnen, damit ich das nun richtig verstehe. Aber alles in allem super erklärt!   ─   janaselb, vor 1 Monat, 1 Woche

Sehr gerne. Das freut mich sehr zu hören :)
Wenn doch nochmal eine Rückfrage kommt, dann melde dich gerne nochmal.
  ─   christian_strack, vor 1 Monat, 1 Woche
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