Graphen von Abbilgungen (mehrerer Veränderlicher) zeichnen

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Hallo,

ich mache gerade Analysis 2 und bereite mich auf eine Klausur an einer Uni vor. Ich tu mich etwas schwer mit dem Abstrahieren und benötige immer wieder Beispiele. Ich verstehe z.B. nicht immer, warum man den Graphen mancher Abbilgungen (mehrerer Veränderlicher) als Fläche zeichnet und manche nicht.

 

Beispiel: \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)

Hier entsteht eine Fläche, da man eine Fläche (Zahlenpaar der x- und y-Achse) auf die z-Achse wirft. Leuchtet mir irgendwie ein.

Beispiel: \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\)

Das ist eine Kurve, wird also als linienförmig gezeichnet. Aber: Ein Wert der x-Achse wird auf ein Zahlenpaar (der y- und z-Achse abgebildet). f kann man ausdrücken als Komponentenfunktionen \(f_1\) und \(f_2\). Warum entsteht hier keine Fläche?

Ist beides nicht einfach spiegelverkehrt?

Danke.

gefragt vor 1 Woche, 1 Tag
z
zodiac10,
Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Das ist eine Frage der Dimensionen – soweit nichts Neues :-) – aber (wenn man mal Fraktale außer acht lässt), dann wird das Bild einer eindimensionalen Menge wieder (vom Charakter her) eindimensional sein; das Bild einer zweidimensionalen Menge ist zweidimensional, usw.

Immer vorausgesetzt, dass man „genügend Platz“ hat – streng genommen ergäbe eine Abbildung in den \(\mathbb R^1\) ja ein Bild in nur einer Dimension; wenn man aber (für die Darstellung) die Dimensionen der Definitionsmenge hinzunimmt, hat man \(2+1 = 3\) Dimensionen, und in diesem dreidimensionalen Raum hat das Bild dann eben gerade so viele Dimensionen wie die Definitionsmenge.

Fazit: Bei solchen Abbildungen entstehen keine neuen Dimensionen und es verschwinden auch keine.

geantwortet vor 6 Tagen, 11 Stunden
r
rodion26
Punkte: 207
 
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