Basis, lineare Hülle, Erzeugendensystem

Erste Frage Aufrufe: 21     Aktiv: 08.04.2021 um 09:22

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Ich hab ein Paar Fragen bezueglich der Vektoren. Also erste Frage: sind Erzeugendensystem und Basis dasselbe oder gibt es irgendwelche Unterschiede? Zweite Frage: Was ist eine lineare Huelle und hat sie etwas mit Erzeugendensystem und Basis zu tun oder sind sie nicht miteinander verbunden? Dritte Frage: Wie kann man verstehen ob eine gegebene Menge auch ein Vektorraum ist? 
Vielen Dank im Voraus!
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Frage 1: eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem Frage 2: lineare Hülle ist der von den Vektoren aufgespalten Vektorraum,  also sind diese Vektoren ein Erzeugendensystem des erzeugten Vektorraums Frage 3: dafür musst du die Vektorraumaxiome prüfen
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Vielen Dank für die Antwort! Bezüglich der erste Antwort würde ich noch was fragen, also welche Unterschiede gibt es dann zwischen Erzeugendensystem und Vektorraum? Zweite Frage: was bedeutet der begrif “aufgespannter” , nämlich aufgespannter Vektorraum.
Freue mich auf Antwort. Danke!
  ─   userd82864 08.04.2021 um 00:23

Ein Erzeugendensystem besteht aus Vektoren, in deinem Fall wahrscheinlich nur endlich vielen Vektoren \(v_1,\ldots,v_n\), dessen Spann/lineare Hülle den Vektorraum bildet. Der Spann/die lineare Hülle von Vektoren \(v_1,\ldots,v_n\) sind alle Linearkombinationen der Vektoren: \(\{\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k :\lambda_k\in K \}\)   ─   mathejean 08.04.2021 um 09:22

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