Surjektivität und Injektivität

Aufrufe: 98     Aktiv: 21.03.2021 um 23:06

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Die Defintionen der beiden Schlagwörter ist mir bewusst, jedoch müsste mir jedoch mal einer in Worten sagen, was das in Bezug auf die Aufgabe bedeutet.

f(x)= 1/x + ln(x)
f'(x)= x-1/ x^2

jetzt weiß ich, dass die Funktion auf[1; unendlich[ sms und auf ]0,1]smf ist und ein glob. Maximum bei 1 annimmt.

was bedeutet jetzt f(x)größer gleich 1 und es für alle x>0 gilt, ist f nicht surjektiv

wie müsste es lauten, dass die funktion evtl doch surjektiv ist?

Injektivität

lim x->0f(x)= unendlich (aber 1/x + ln(x)) gibt ja einmal unendlich-unendlich...wie komme ich da auf unendlich?
lim x-> unendlich f(x)= unendlich

damit ist es auch nicht injektiv. Wenn jetzt bei einem unendlich und beim anderen minus unendlich raus kommen würde, dann wäre es injektiv oder?


Seit Anfang meines Studiums habe ich das nie kapiert :D
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Guten Abend trivial1603,

ich glaube ich kann dir gut helfen: Mein erster Tipp: Zeichne doch einmal die Funktion, dann siehst du schnell, was Sache ist.
Ein kleiner Fehler bei dir oben: Bei x=1 ist ein Mininum!!

Die Funktion ist NICHT surjektiv, weil: Es eben NICHT für alle Elemente aus dem Wertebereich ein Element aus dem Def-Bereich gibt, sodass gilt: f(x) = y
x aus D, y aus W. Klar, sieht man ja: Z.B. y=0 wird nicht getroffen. Es gibt also kein x aus D, sodass f(x) = 0 gilt. Also werden nicht alle Elemente des Wertebereichs getroffen und deswegen ist f nicht surjektiv.

Injektiv ist f aber auch nicht, denn es müsste gelten: Wenn ein y-Wert von zwei X-Werten getroffen wird (also f(x1) = y = f(x2)) dann müssten diese beiden x-Werte schon identisch sein (x1 = x2). Stimmt aber nicht... Z.B. y=2 ist ein Bild von f(0,3) und f(6,3) (ungefähre Werte).
Also gibt es zwei VERSCHIEDENE x-Werte, die zum gleichen y-Wert führen. Das ist ein Widerspruch zur Injektivität.

Das wars. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Viele Grüße,
Max

P.S. Bei YouTube gibt es coole Physikvideos. Schau doch mal rein. "Physik mit c"
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Dazu nur zwei Anmerkungen, wenn ich darf (Entschuldigung, wenn es unüblich/unerwünscht ist, sich in eine laufende Diskussion einzuklinken):
- In der Originalfrage ist auch in der angegebenen Ableitung ein Fehler.
- Der Begriff "surjektiv" ist eigentlich nur sinnvoll, wenn die Zielmenge einer Abbildung angegeben ist: Die Abbildung \( \sin : \mathbb R \to \mathbb R \) ist nicht surjektiv (denn sie trifft nicht alle reellen Zahlen), aber die gleichnamige Abbildung \( \sin: \mathbb R \to [-1, 1] \) ist surjektiv. Insofern fehlt in der Ursprungsfrage die Angabe, welche Menge als Zielmenge der Abbildung genommen werden soll.
  ─   lfm 20.03.2021 um 01:48

Völlig korrekt Herr Kollege. Ich habe daran auch gedacht, wollte es aber nicht posten, da ich dachte: "Wetten das R --> R in der Aufgabe steht :-) Und ich wollte nicht noch zu mehr Verwirrung sorgen. Aber Sie haben völlig Recht. Ohne Zielmenge macht die Frage keinen Sinn!   ─   max.metelmann 21.03.2021 um 18:25

Ja, schwierige Abwägung, ob das Betonen der Abhängigkeit von der Zielmenge als "noch 'ne Information mehr" nur zur Verwirrung beiträgt, oder ob es hilfreich fürs Verständnis ist (weil der OP ja erwähnte, mit den Begriffen Injektivität/Surjektivität grundsätzliche Schwierigkeiten zu haben).
Insofern war meine Anmerkung nicht als mathematische Besserwisserei gemeint - ich habe nur die Erfahrung gemacht, dass es fürs Verständnis des Begriffes hilft, zu betonen, dass die scheinbar buchhalterisch-pingelige Angabe der genauen Zielmenge ("ist doch egal, wenn's noch ein paar mehr potentielle Funktionswerte gibt") für die Frage nach der Surjektivität eben entscheidend ist.
  ─   lfm 21.03.2021 um 23:06

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