Kapiert jemand diese Umformungen und könnte die für laien beschreiben?

Aufrufe: 32     Aktiv: 10.01.2022 um 18:55
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Hi, bin bei Umformungen nicht gerade wirklich fit. WIr haben die Bedingung:

für jede natürliche Zahl n>=5 filt 2^n > n^2
IA (n=5= ist 32 >25

IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges n ELement der natürlichen Zahlen, n >=5

IS n-->n+1

Nun die Umformungen:

Ich mache 2^n+1 das ist das gleiche wie 2*2^n. Was passiert danach, warum kann ich die 2 ^n mit n^2 ersetzen? Also klar ich habe das so ersetzt, damit meine linke Seite größer als meine rechte Seite ist. ich habe ja dann links nur noch 2 ^n und rechts 2 * n ^2 oder?
Was ich jedoch nicht verstehe, warum darf man so einfach die n ^2 einbauen? Muss ich die nicht schon selbstständig irgendwie einbauen, wenn ich sowas nachweise, waurm kontne die Person, die die Umformung vollzogen hat, einfach sagen ich habe ja jetzt 2*2^n und das tauscht sie gegen eine andere Zahl, ist das bei Umformen erlaubt?
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Du benutzt hier die InduktionsVorsaussetzung. Dafür steht das IV
 
Du nimmst ja an, dass deine Behauptung bereits für \(n\) gilt: also gilt \(2^n>n^2\).
Daraus schließt du dann, dass die Aussage auch für \(n+1\) gilt.
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Du sollst hier einen Beweis mit vollständiger Induktion führen. \( 2^n > n^2\) ist die Induktionsannahme.
Behauptung : das gilt auch für n+1.
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Zuerst einmal wäre es schön, wenn Du die Schreibfehler reduzieren würdest und wenn Du die Formeln mit dem verfügbaren Editor schreiben würdest. 
Nun zur Aufgabe: Es handelt sich offensichtlich um einen Beweis mittels der vollständigen Induktion. Für n=5 ist schon alles getan. Fehlt der Schritt von n auf n+1. Nimm an, dass \(2^n > n^2\) gilt. Multipliziere mit 2, dann hast Du links schon den gewünschten Ausdruck. Es folgt \( 2^{n+1} > 2 \cdot n^2  \). Kommst Du nun selbst weiter?
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