Parametergleichung von Gerade und Ebene

Aufrufe: 74     Aktiv: 25.09.2022 um 19:01

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Liebes Forum,

ich habe folgende Frage:

Ist es richtig, dass man die vektoriellen Parametergleichungen von Gerade und Ebene als Abbildungen / Funktion von R-->R^3 und von R^2 --> R^3 auffassen kann?


Geraden:   f: R --> R^3 mit r --> Vektor a + r* Vektor u

Ebenen: f: R^2-->R^3 mit (r,s) --> Vektor a + r* Vektor u + s*Vektor v


Ist das legitim, die beiden "Objekte" als Abbildungen zu definieren?
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1 Antwort
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Die Objekte und die Abbildungen sind eng verwandt.
Damit die beiden Abbildungen dem jeweiligen Objekt entsprechen, müssen noch Zusatzvoraussetzungen an die verwendeten Vektoren gelten (überleg mal, welche).
Wenn diese erfüllt sind, gilt $f(R)$ ist eine Gerade (als Punktmenge) bzw. $f(R^2)$ ist eine Ebene (als Punktmenge).
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Lieber Mikn,

müsste ich noch ergänzen, dass die Vektoren aus der Zielmenge stammen müssen (also R^3)? Dann wären die Abbildungen identisch mit den Objekten?
  ─   handfeger0 25.09.2022 um 12:21

Die Abbildungen und die Objekte sind NICHT identisch. Mach Dir unbedingt (bei ALLEN Mathe-Aufgaben vorher klar, von welchem Typ von Objekt die Rede ist (Zahl, Funktion, Menge, Aussage,...)).
Ja, die Vektoren müssen aus den richtigen Mengen stammen und außerdem beschreibt Vektor a + r* Vektor u nicht in allen Fällen eine Gerade (analog mit der Ebene).
  ─   mikn 25.09.2022 um 12:27

Also bei der Gerade darf der Vektor u nicht der Nullvektor sein.

Meine Abbildung erzeugt aber jetzt doch das komplette Objekt oder nicht?
  ─   handfeger0 25.09.2022 um 12:32

Zur Gerade: Ja, genau. Zur Ebene: Da ist die Einschränkung etwas aufwendiger.
Und ja, wenn alles stimmt, erzeugt die Abb. die komplette Gerade (bzw. Ebene). Wohlgemerkt: erzeugt. Nicht: ist identisch.
  ─   mikn 25.09.2022 um 12:55

Wenn alles geklärt ist, bitte als beantwortet abhaken (grauer Haken unter den up/down-votes, siehe auch Anleitung per e-mail), damit wir den Überblick behalten. Es ist schwierig in diesem aktiven Forum wirklich unbeantwortete Fragen zu erkennen, wenn sie nicht abgehakt werden. Kümmere Dich in diesem Sinne bitte auch um Deine früheren Fragen. Davon profitieren wir alle (auch Du selbst bei etwaigen weiteren Fragen). Vielen Dank für's Mitmachen.
  ─   mikn 25.09.2022 um 19:01

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