Aussagenlogik: Term vereinfachen

Aufrufe: 3399     Aktiv: 13.10.2020 um 16:32

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Hallo, 

ich habe a) zum ersten Mal so richtig vereinfacht. Bin ich hier richtig vorgegangen und habe ich die richtige vereinfachte Lösung am Ende als Ergebnis?

LG

Umformungsregel:

Meine Lösung:

b)

Meine Rechnung zu b)

Meine Rechnung zu c):

 

 

Musterlösung zu 5a), b), c)

 

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Hallo,

im ersten Schritt beim orangenen hast du einen kleinen Fehler. Die "und" Verknüpfung ist assoziativ

$$ (a\land b) \land c = a \land (b \land c) $$

Damit wird das orangene zu

$$ \neg (( F \land G) \land \neg G) = \neg (F \land 0) = \neg 0 = 1 $$

Bei dem roten hast du es richtig gemacht. Nur beim weiteren umformen, gilt

$$ \neg 0 = 1 $$

Das gelbe sieht soweit gut aus. Bedenke nur, dass 

$$ x \land 1 = x $$

gilt.

Ich habe ganz am Ende 

$$ F \lor G $$

heraus. Muss allerdings zugeben, dass es bei mir auch schon eine weile zurückliegt. Ich hoffe also das ich keinen Fehler gemacht habe. Am Besten gehst du es nochmal durch und dann können wir nochmal vergleichen :)

Grüße Christian

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Ich habe die Sachen korrigiert und am Ende immer noch 1 raus. Könntest du vergleichen :) ? Dann komme ich bei b) nicht weiter :(..   ─   kamil 09.10.2020 um 17:20

Sorry das ich erst jetzt schreibe. War das Wochenende leider etwas verplant.
Deine Rechnung sieht für mich richtig aus. :)
Wo ich mir unsicher war ist
$$ A \lor 1 = 1 $$
Aber habe es nochmal nachgeguckt und du hast recht.

Zur b) Die Schreibweise mit \(+\) und \( \cdot \) kannte ich noch gar nicht. Habe mich aber mal kurz informiert: https://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Boolesche_Ringe
hier stehen folgende Umformungen
$$ x \lor y = x + y + xy $$
und
$$ x \land y = xy $$
Du erhälst also
$$ ( \overline{A} B \overline{C} ) + (A+B+AB) \cdot ( \overline{A} + \overline{C} + \overline{AC}) +( \overline{A} B \overline{C} ) \cdot (A+B+AB) \cdot ( \overline{A} + \overline{C} + \overline{AC} ) $$
würde ich eher sagen. Oder was meinst du?
  ─   christian_strack 12.10.2020 um 09:30

Wie bist du auf das doppelte des gleichen Terms gekommen? Ab "(-A*B*-C)" wiederholt sich der ganze Ausdruck nochmal. Ist nicht das, was auf der Lösung steht :(

Ich stehe jetzt vor einem Unverständnis. Wie erkenne ich, dass ich den kompletten Term vereinfacht habe und es nicht mehr weiter geht? Was mir Kopfschmerzen bereitet ist die Tatsache, dass ich den Eindruck habe, den Ausdruck immer wieder durch Anwendung der Rechenregeln der booleschen Algebra vereinfachen zu können. Ich habe auch gerade die Lösung der Aufgabe bekommen. a) haben wir richtig, aber bei b) verstehe ich die Welt nicht mehr. Wie kommt man auf diese Lösung von meiner Rechnung aus? An was soll ich mich da orientieren? Meine Vereinfachungen der Rechnung sind sehr lange und scheinen nicht zu enden. Ich verstehe das einfach gerade nicht.
  ─   kamil 12.10.2020 um 11:22

Das was ich gepostet habe ist nicht die Lösung. Wie gesagt habe ich auch keine Erfahrung darin die Verknüpfungen zu transformieren. Das was ich da geschrieben habe, ist laut Wikipedia der erste Umformungsschritt. Wir können (laut Wikipedia) jede Boolesche Algebra \((R,\land, \lor , \neg , 1 , 0)\) auch als Booleschen Ring \((R,+,-,\cdot , 1 , 0)\) betrachten.
Dafür muss man aber die richtigen Umformungen betrachten. Das sind eben die ich oben geschrieben habe. Sehe sogar gerade das ich eine vergessen habe
$$ \neg x = x+1 $$
So wie ich das verstehe darfst du eben nicht einfach \( \lor \) durch \( + \) und \( \land \) durch \( \cdot \) ersetzen.
Warum dein Prof das in deiner Musterlösung so macht kann ich nicht sagen. Ansonsten frag deinen Prof nochmal warum auf Wikipedia andere Umformungen stehen.

Da du dir bei der Umformung anscheinend genauso unsicher bist, würde ich sagen mach am Besten ohne Transformation weiter. Das sollte ja auch funktionieren :)
An sich macht die Umformung aus der Musterlösung ja Sinn, solange \( \land = \cdot \) und \( \lor = + \).

  ─   christian_strack 12.10.2020 um 14:39

Und das man weiß dass man fertig ist, ist Übungssache. Wie beim zusammenfassen von Termen in der Schulzeit. Irgendwann gehts halt nicht mehr weiter.   ─   christian_strack 12.10.2020 um 14:41

Das steht so in der Lösung, weil es einfach so definiert ist. Das steht so in der Vorlesungsfolie. Das in Wikipedia verstehe ich nicht. Was davon ist jetzt ein Ring? Was du gemacht hast, ist die Umformung des Booleschen Rings in die Booleschen Algebra zu machen?

Ich verstehe die Umformung mit aVb= x+y+xy. Aber woher kommt das danach mit dem Malzeichen? Warum wird das dazu addiert?

Und ich habe das ja versucht, ohne die Transformation vorzugehen. In meiner Rechnung habe ich nur ein Schritt anders gemacht, als es in der Musterlösung ist, nämlich in Zeile sieben (...) (B*¬C)*(C+¬C) anstatt wie in der Musterlösung (...) (B*¬C)*(A+¬A) ran multipliziert, wodurch ich nur ein Faktor, nämlich B*¬C anstatt in der Lösung zwei Faktoren ¬A*B und A*¬C ausklammern kann.

Die Lösung kann ich dann trotzdem weiter modifizieren. Ich kann sie immer weiter verändern, so lange ich mehr als eine Verknüpfung habe. Ich verstehe den Sinn der ganzen Sache nicht.

  ─   kamil 12.10.2020 um 16:15

Beim booleschen Ring entspricht \(+\) dem exklusiven Oder (das heißt, es gilt \(1+1=0\) statt, wie beim »normalen« Oder, \(1+1=1\)). Mit dem »normalen« Oder hätte \(1\) kein additiv Inverses, das wäre also kein Ring mehr. Und die Symbole \(+\) und \(\cdot\) werden einfach gerne gebraucht, wenn es allgemein um algebraische Strukturen geht.

Im Zusammenhang mit der booleschen Algebra ist \(+\) dagegen ein anderes Symbol für \(\lor\). Lasst euch nicht von irgendwelchen Spezialkontexten verwirren, auch in der Wikipedia steht:

> Mathematiker schreiben gelegentlich „·“ für UND und „+“ für ODER (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition anderer algebraischer Strukturen)
  ─   ivanp 12.10.2020 um 17:29

Genau das verstehe ich. Nur das und nichts anderes...   ─   kamil 12.10.2020 um 17:37

Ah ok vielen danke ivanp für die Erklärung :)
Kann man denn sonst einfach mit den Regeln der Multiplikation und Addition weiterrechnen? Also natürlich muss man mit der Verrechnung von Aussagen aufpassen aber von den grundlegenden Rechenregeln her wie das ausklammern?

Na gut dann verstehe ich zwar nicht ganz warum der Prof nur bei dieser Aufgabe die Zeichen wechselt, aber dann können wir uns die Lösung ja weiter ansehen.
@kamil bei dem ersten Blatt deiner Lösung von 5b) kann ich den letzten Umformungsschritt nicht nachvollziehen. Kannst du mir einmal erklären wie du darauf kommst?
  ─   christian_strack 12.10.2020 um 19:50

@christian ich habe das boolesche 11. Gesetz A+BC= (A+B)*(A+C) angewendet, aber auf den Term (A¬C)+(B¬C). Das ist = A+B*A+¬C*¬C+B*¬C+¬C. Es wird jeder mit jedem addiert und dazwischen multipliziert.
Quelle Rechengesetze: https://studyflix.de/informatik/boolesche-algebra-977

Das Vorgehen ist das gleiche wie bei einer Multiplikation (A+¬C)*(B+¬C), hier sind die Operatoren vertauscht. Wo ein Plus ist, ist ein Mal und umgekehrt (wo ein Mal ist, ist ein Plus) . Hier wird auch jeder mit jedem multipliziert, dazwischen aber alles addiert.

Das ist, was ich meine. Diese Gesetze kann man immer wieder anwenden. Wie dem auch sei, ich habe am Ende an den Term B¬C ein A+¬A ran multipliziert, was mir ein ausklammern von A¬C ermöglicht, wie in der Lösung in der 8. Zeile. Das hätte man auch am Anfang machen können. Ich glaube, man braucht dafür ein gutes Auge. Wenn man sieht, dass in den Termen ¬AB und A¬C jeweils ein A und ein ¬A vorhanden ist, kann man an B¬C ein (A+¬A) ran multiplizieren. Wenn man das ausmultipliziert, sieht man dann, dass zwei Terme ¬AB und A¬C vorhanden sind, die man wunderbar ausklammern kann, wie in der Lösung steht. Dadurch entstehen nach dem Ausklammern in den Klammern diese Ausdrücke "1+irgendwas", was immer 1 ist und wegfällt.

Ich glaube, so ist das gemeint und so funktioniert das. Aufgabe c) habe ich jetzt ohne Probleme gelöst. Da muss man nur ausmupltiplizieren, was mir leichter fällt irgendwie. :D

Ich glaube das war es und ich habe es jetzt verstanden. Was sagst du dazu? :)
  ─   kamil 13.10.2020 um 10:24

Ah ja ok dass funktioniert. Habe es auch nochmal durchgerchnet, da in dem Video ja eine Negation genutzt wird
$$ (A+B) \cdot (A+C) = AA + AC + AB + BC = A( C+1) + AB + BC = A + AB + BC = A(B+1) + BC = A+BC $$
Aber ich denke du kannst das nicht einfach so anwenden wenn die Verknüpfungen vertauscht sind.
$$ A + B \cdot A + \neg C \cdot \neg C + B \cdot \neg C + \neg C = A (B+1) + \neg C + B \cdot \neg C + \neg C = A + \neg C (B+1) + \neg C = A + \neg C + \neg C = A + \neg C $$
Oder ?

Aber ja ich gebe dir im Großen und Ganzen auf jeden Fall recht. Ich denke auch es läuft immer wieder darauf hinaus irgendwas so auszuklammern, sodass man \( ( X +1 ) \) erhält damit das wegfällt. Oder \( (X+ \neg X) \) oder ähnliches.

Die c) sieht wunderbar aus. Ein kleiner Tipp noch der mir aufgefallen ist: Im zweiten Schritt in der Klammer kannst du noch etwas mehr vereinfachen.
$$ \neg A + \neg A \cdot B + \neg A \cdot \neg B = \neg A + \neg A \underset{=1}{\underbrace{( B + \neg B)}} = \neg A + \neg A = \neg A $$

Spannende Aufgabe. Konnte ich auch noch einiges lernen :)
  ─   christian_strack 13.10.2020 um 13:41

Ich weiß nicht , ob man das so anwenden kann (Verknüpfung tauschen) . Es kommt auch was anderes raus. Das kann man aber auch immer mit 1 erweitern und dann ausmultiplizieren oder so.

Aber ich habe die Lösung! Danke! Man lernt nie aus :)
  ─   kamil 13.10.2020 um 13:57

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 13.10.2020 um 16:32

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