Untergruppe

Aufrufe: 33     Aktiv: 21.05.2021 um 10:55

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Wie weist man am einfachsten nach ob etwas eine Untergruppe einer andren Gruppe ist?
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Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(e\in G\) sowie \(U\subseteq G\). (Wenn du noch nicht weißt, ob deine potentielle Untergruppe eine Teilmenge von \(G\) ist, solltest du das als allererstes prüfen). Um zu zeigen, dass \(U\) eine Untergruppe ist, kannst du nachprüfen, dass
  1. \(U\neq\emptyset\) bzw. \(e\in U\). Meist ist es am einfachsten zu zeigen, dass \(e\in U\) gilt, aber manchmal ist es für ein anderes Element einfacher.
  2. Für alle \(a,b\in U\) ist auch \(ab^{-1}\) in \(U\). Alternativ kannst du auch zeigen, dass \(ab\in U\) und \(a^{-1}\in U\) gilt.
Das ist normalerweise die Definition einer Untergruppe.
Alternativ kannst du auch z.B. einen Homomorphismus \(f:G'\to G\) angeben (und zeigen, dass es ein Homomorphismus ist), wobei \(G'\) eine andere Gruppe ist (was du zeigen musst), und zeigen, dass \(\mathrm{im}(f)=U\) (oder für einen Homomorphismus \(f:G\to G'\), dass \(U=\ker f\). Das ist aber nur dann überhaupt möglich, wenn \(U\) ein Normalteiler ist.)
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