Question

Wie zeige ich das phi genau dann injektiv ist ,wenn phi surrjektiv ist.

Aufrufe: 1258 Aktiv: 22.03.2020 um 14:51

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Hallo zusammen,

wie oben erwähnt habe ich einmal Probleme zu zeigen dass etwas genau dann injektiv ist wenn es surrjektiv ist . Aber davor ist das Problem erstmal ordentlich zu zeigen dass es surrjektiv ist..

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gefragt 05.01.2020 um 12:08

mimihopsi
Student, Punkte: 233

Das kann man ganz schnell mit der Rangdefekt Formel zeigen ─ linearealgebruh 05.01.2020 um 21:30

Diese Formel habe ich noch nie gehört und auch nicht im Skript gefunden.
Aber ich bin auf einen Satz gestoßen :
Seien V und W ein K-Vektorräume, und es gelte dim V < unendlich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. V und W sind isomorph
2. dim V= dim W

meinst du den könnte ich verwenden ? Und was müsste ich noch darstellen ?
─ mimihopsi 06.01.2020 um 10:09

Die Rangdefekt Formel oder der Rangsatz lautet:
Für eine Abbildung
$$ f : V \to W $$
gilt
$$ \mathrm{dim} \ V = \mathrm{dim}( \mathrm{ker} \ f) + \mathrm{dim} (\mathrm{im} \ f )$$

Diese hattet ihr nicht?

Grüße Christian ─ christian_strack 06.01.2020 um 16:06

Also in meinen Unterlagen und im Kurzskript finde ich diese Formel/diesen Satz nicht. Nur die Dimensionsformel. Die ist die letzte die wir gemacht haben. ─ mimihopsi 06.01.2020 um 16:21

$$ \mathrm{dim} (V_1 + V_2) = \mathrm{dim}V_1 + \mathrm{dim} V_2 - \mathrm{dim}( V_1 \cap V_2) $$
Diese? ─ christian_strack 06.01.2020 um 16:47

Nein, die hab ich nur in einem Buch gefunden.
Unsere lautet so:
Ist dim V< unendlich, so gilt die Dimensionsformel
dim V/U = dim V - dim U
Ist auch das einzige Mal wo die Dimensiondformel benutzt bzw. erwähnt wird. ─ mimihopsi 06.01.2020 um 16:52

Ich würds mit der Rangdefekt - Formel machen, selbst wenn ihr die noch nicht hattet könntest du sie ja "rein zufällig" herleiten und verwenden, weil damit ginge es sehr schnell ─ linearealgebruh 06.01.2020 um 20:10

Hmm also da muss ich linearealgebruh recht geben. Müsste ich ansonsten auch nochmal drüber nachdenken wie man das am besten ohne beweist. ─ christian_strack 06.01.2020 um 23:38

In dem Buch was ich begleitent zum Studium habe, steht die Rangdefekt Formel als Dimensionssatz/Kern-Bild-Satz drinne. Diesen hatten wir aber auch noch nicht in der VL, es kann sein das wir den heute besprechen.
Ansonsten wäre es gut wenn es noch einen anderen weg gäbe um dies zuberechnen, denn dies ist eine Präsenzaufgabe also das bedeutet das ich das alles auswendig hinschreiben muss in sehr kurzer Zeit (wie ein Kurz Test).
Aber dankeschön für eure Hilfe ! ─ mimihopsi 07.01.2020 um 10:24

Den Satz den ich oben erähnt habe (Seien V und W ein K-Vektorräume, und es gelte dim V < unendlich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. V und W sind isomorph
2. dim V= dim W)
würde der nicht aussreichen . Denn es ist ja gegeben dass dim V = dim W < unendlich ist, Und da der Satz besagt das die Aussagen äquivalent sind , folgt daraus nicht das V und W isomorph sind ? Damit ist ja dann gesagt dass sie injektiv und surjektiv sein müssen oder nicht ? ─ mimihopsi 08.01.2020 um 12:10

Super danke dir !
Ich versuche mal dass noch mathematisch Auszudrücken, aber dein Text hilft mir beim Verständnis vielen Dank ! ─ mimihopsi 08.01.2020 um 15:25

Hi,
versuche doch den erstgenannten Dimensionssatz zu beweisen. Das kannst du ganz einfach mithilfe von
"dim V/U = dim V - dim U"
und
"1. V und W sind isomorph
2. dim V= dim W" ─ crazyfroggerino 08.01.2020 um 15:53

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1 Antwort

linearealgebruh · Answer 1 · 2020-01-08T14:59:33Z

Dieser Satz sagt zwar aus, dass V und W isomorph sind, also dass es eine isomorphe (und somit bijektive) Abbildung von V nach W gibt, aber woher weiss man, dass gerade dieses Φ diese bijektive Abbildung sein muss? Φ könnte ja auch eine Abbildung sein, die alles auf die 0 in W schickt, damit wäre sie weder injektiv noch surjektiv, aber es wäre trotzdem eine Abbildung von V nach W. Hmmm, mir fällt da ehrlich gesagt auch nichts mehr ein, außer einen kleinen Text zu schreiben: V und W haben beide dieselbe (endliche) Dimension, das heißt sie enthalten beide dieselbe Anzahl an Elementen. Wenn Φ injektiv ist, heisst das, dass jedem Element w€Φ(V) c W eindeutig ein v€V zugeordnet wird, sodass Φ(v) = w. Das heißt, es können keine Dopplungen auftreten. Da auch jedem Element v€V genau ein Element w€W zugeordnet wird, und V und W gleichviele Elemente haben, müssen alle Elemente in W angenommen werden, weil es ansonsten Dopplungen gibt (Widerspruch zur Injektivität). Somit ist Φ(V) = W, also das Bild der Abbildung ist ganz W, also surjektiv. Genauso kann man umgekehrt argumentieren dass aus der Surjektivität die Injektivität folgt. Das ist zwar nicht schön mathematisch ausgedrückt, aber ehrlich gesagt wüsste ich nicht wie das anders gehen sollte :/