Volumen Schnittmenge Kugel & Zylinder

Aufrufe: 1671     Aktiv: 03.10.2019 um 18:47

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Hey, ich hänge jetzt schon eine ganze Weile an folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen der Schnittmenge der Kugel

K := {(x1, x2, x3) e R^3 : x1^2 + x2^2 + x3^2 < 25}

und des Zylinders Z := {(x1, x2, x3) e R^3 : x1^2 + x2^2 < 16}.

Ich habe ein dreifach Integral (& Transformation von x1; x2 zu r*cos(phi); r*sin(phi)) zur Berechnung verwendet, mit den Grenzen [0, 2pi] für das äußere Integral, [0,4] für das mittlere Integral und [-Wurzel aus(25-r^2), +Wurzel aus(25 - r^2)] für das Innere. Die Integrale habe ich dann nach Fubini für dx3, dr und dphi berechnet, wobei ich ein zusätzliches *r eingefügt habe (Jacobi-det.).

Mein Ergebnis lautet: 392pi / 3.

Stimmt das soweit? Und nun lautet die Formal ja jeweils „< „ und nicht „<=„, das heißt doch, dass nur das „Innere“ enthalten ist und eben nicht der „Rand“, oder? Also müsste ich von meinem Ergebnis noch den Mantel des Zylinders (mit Höhe 6 und Radius 4) abziehen und die Oberfläche des darüberliegenden Restes der Kugel?

Falls das stimmt, wie berechne ich diese „Restoberfläche“ der Kugel?

oder liege ich mit meinen bisherigen Überlegungen komplett daneben? Gibt es einen wesentlich einfacheren Weg zur Berechnung des Volumens?

Würde mich sehr über Hilfe freuen! 

Liebe Grüße 

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