Isomorphiesatz für Gruppen, triviale Bemerkung?

Aufrufe: 92     Aktiv: 20.05.2022 um 21:39

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Ich arbeite derzeit ein Skript eines vorherigen Semester für Algebra durch, dabei stieß ich auf den 1. Isomorphiesatz für Gruppen. Dieser ist dort wie folgt definiert:

Ist \(\varphi:G\rightarrow G'\) ein Gruppenhomomorphismus, so ist \(\varphi':G/ker\varphi\rightarrow im\varphi, a\cdot ker\varphi\mapsto\varphi(a)\) ein Isomorphismus. 
Insbesondere wenn \(\varphi\) ein Epimorphismus ist gilt \(G/ker\varphi\cong G'\)

Diesen habe ich bereits für mich bewiesen (folgt ja relativ simpel aus dem Homomorphiesatz) doch dabei kam eine Frage zu der Bemerkung innerhalb des Satzes auf. Dort heißt es, dass wenn \(\varphi\) ein Epimorphismus ist die Gruppen \(G/ker\varphi\) und \(G'\) isomorph sind. Das ist ja auch relativ logisch, da die isomorphe Abbildung \(\varphi\) dann auf \(G'\) abbildet. Doch für mich ist \(\varphi\) irgendwie immer ein Epimorphismus. Das wird wohl kaum richtig sein, daher frage ich mich, wo mein Denkfehler ist:

Meine Idee war, dass gilt \(\varphi '(a\cdot ker\varphi)=\varphi(a)\), dann ist ja \(a\cdot ker\varphi=\pi(a)\) wobei \(\pi\) der kanonische Epimorphismus ist, dann haben wir \(\varphi=\varphi'\circ\pi\). Jetzt kommt wahrscheinlich mein Denkfehler, aber \(\varphi\) ist ja ein Isomorphismus, also surjektiv und \(\pi\) ist ein Epimorphismus, also auch surjektiv. Muss dann nicht automatisch die Verknüpfung beider, also \(\varphi\) auch surjektiv sein und damit ein Epimorphismus?

Wahrscheinlich nur ein kleiner Denkfehler und eine falsche Anwendung von irgendeinem Satz/Defintion, aber irgendwie finde ich den nicht.
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1 Antwort
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\(\varphi'\) bildet surjektiv auf \(\mathrm{im} \phi\) ab, daher ist die Verkettung \(\varphi'\circ \pi: G \to \mathrm{im} \varphi\) surjektiv. Du hast hier keine Kontrolle über \(G'\), \(\varphi =\varphi ' \circ \pi\), bedeutet ja nur, dass \(\varphi(a)=(\varphi' \circ \pi)(a)\) für alle \(a\in G\), daraus folgt aber nicht \(\mathrm{im} \varphi =G'\), sondern nur die Inklusion,  was aber eh klar war.
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stimmt, daran hatte ich nicht gedacht, danke für die schnelle Antwort   ─   cedricr 20.05.2022 um 18:50

Ich habe Kleinigkeit ergänzt, aber sehr gut, dass für dich der Satz trivial ist! Du wirst Quotienten noch überall sehen, bis es dir langweilig ist   ─   mathejean 20.05.2022 um 18:54

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