Bei der Primfaktorzerlegung siehst du ja auf einen Blick alle Teiler und somit auch den größten
Beipsiel 30 und 24
30 = 2*3*5
24=2*2*2*3
ggT = 2*3=6

Jede Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ). Um also den ggT berechnen zu können, muss man also alle gemeinsamen Faktoren der PFZ als Teiler nehmen. Man kann also einfach zu jedem Primfaktor immer denjenigen mit der kleineren Potenz wählen, da dieser dann automatisch auch in der anderen Zahl vorkommt. 

Analog kann man das für das \(\mathrm{kgV}\) begründen. Die Zahlen \(a\) und \(b\) sind beides Teiler vom \(\mathrm{kgV}\) und deswegen muss dieses alle Primteiler besitzen, die in mindestens einer der beiden PFZ vorkommen. Daher wählt man hier immer den Primfaktor mit der größeren Potenz. 

Wähle dir einfache Beispiele, um dir den Sachverhalt klarzumachen.