Hilfe bei Aufgabe zu bedingter Wahrscheinlichkeit

Erste Frage Aufrufe: 378     Aktiv: 05.01.2023 um 14:33

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Hallo, 
ich steh leider auf dem Schlauch bei einer Aufgabe, die ich für eine Hausarbeit bearbeiten muss:
"Bei einer Person ergibt ein Schnelltest ein positives Ergebnis. Daraufhin wird ein PCR-Test durchgeführt, der ebenfalls positiv ausfällt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich an Covid-19 erkrankt ist?"

Die Werte für den Schnelltest sind: Sensitivtiät 50%, Spezifität 97%
Für den PCR Test:  Sensitivtiät 99%%, Spezifität 99,5%
Die Prävalenz beträgt 0,007%
Erkrankt wird hier mit infiziert gleichgesetzt.
Die ersten Wahrscheinlichkeiten, die ich mir erarbeitet habe, liegen bei ca 0,51%, was mir aber viel zu gering vorkommt. Wobei die Wahrscheinlichkeit, dass jemand erkrankt ist, mit bedinung auf einen positiven PCR-test auch mit nur 1,32% sehr gering ist.(oder bin ich da auch falsch)

Evtl kann mir hier jemand einen Lösungsansatz geben, ggf mit Baumdiagramm oder 4-Feld Tafel. 
Vielen Dank schonmal :D
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Lade besser drive Rechnungen hoch.   ─   cauchy 04.01.2023 um 21:16

Sieht zwar etwas wirr aus, aber hier ist einer der Entwürfe.

Um die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung, bedingt auf einen positiven schnelltest und PCR-Test zu berechnen wird folgende Formel benötigt:
P(K│S,Pcr)=(P(S,Pcr│K)*P(p))/(P(S,Pcr))
Wobei P(S,Pcr│K) die Wahrscheinlichkeit zweier positiver Tests bedingt auf eine Erkrankung darstellt und P(S,Pcr) die Wahrscheinlichkeit von zwei positiven Tests unabhängig von einer Erkrankung.
Um P(S,Pcr│K) zu berechnen wird folgende Formel benötigt:
P(S,Pcr│K)=P(S│K)*P(Pcr|K)
Hier steht P(S/K) für die Sensitivität des Schnelltests und P(Pcr|K) für die Sensitivität des PCR-Tests.
P(S,Pcr) ist ebenfalls bisher unbekannt und muss mit dieser Formel zuvor berechnet werden:
P(S,Pcr)=P(S│P)*P(K)+P(P│S)*P(S)
Die Berechnung sehen nun wie folgt aus:
P(S,Pcr│K)=0.5*0.99=0.495
P(S,Pcr)=0.5*0.0000769+0.995*0.5=0.0045
P(K│S,Pcr)=(0.495*0.0000769)/0.0045≈0.00516 ≈0.51%
Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung nach einem positivem Schnelltest und PCR-Test bei circa 0,51%?
  ─   hanni.melliba 04.01.2023 um 21:49
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Bereits ein ganz offensichtlicher Fehler: P(S,Pcr)=0.5*0.0000769+0.995*0.5=0.0045 

Und wo kommt die 0,0000769 plötzlich her? Und wofür steht bei dir nun das P? Für PCR-Test positiv?
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Offenbar hab ich da dann ein paar Dinge durcheinander gebracht. Ich glaub ich fang nochmal ganz frisch von vorne an mit den Berechnungen.
Bei der Prävalenz hab ich tatsächlich zwei stellen unterschlagen, das sollten 0,00769% sein.
  ─   hanni.melliba 05.01.2023 um 09:08

Ja, dann probiere es nochmal. :)   ─   cauchy 05.01.2023 um 14:33

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