okay wenn ich die aufgabe richtig verstande habe (bei dir haben sich da ein paar fehler eingeschleichen, weil du wahrscheinlich noch nicht so sicher mit den begriffen bist)
zielt die aufgabe auf den kanonischen isomorphismus zwischen V und V** ab
deine umformungen sind leider erstmal nicht richtig, weil du ja in der zweiten zeile zb das spd von einem element aus W* nimmst - das wird schwierig
um die hilfsaussage zu zeigen (wahrscheinlich soll da stehen: y ist der Nullvektor gdw für jedes z* aus W* gilt: z*(y)=0, oder? )
kannst du dir ja mal folgendes überlegen: die eine richtung der inklusion sollte klar sein, für die andere kannst du dir die kanonische basis von W* nehmen. die bildet ja y auf die jeweiligen komponente ab.
für die eigentliche aussage kannst du mal versuchen, den annulator umzuschreiben mithilfe des kanonischen isomorphismus von V** nach V. siehst du dann eine möglichkeit die hilfsaussage anzuwenden?
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Moment warum soll ich mir die kanonische Basis zur Hand nehmen? Ich versteh nämlich noch nicht, wieso mir die Basis hilft, die Rückrichtung der Hilfsaussage zu beweisen ─ karamellkatze 25.05.2020 um 19:08
man könnte natürlich z* als vektor auffassen wegen linearität - dann würde damit das gleiche gemeint sein wie in meiner antwort. aber sorry dann war das nicht dein fehler
und ich bin mir gerade nicht sicher obs meiner oder der vom prof ist haha
(eigentlich ist die matrixdarstellung von z* ja ein zeilenvektor, dafür ist das skp ja aber erstmal nicht definiert)
oE ist ja W=K^n mit K körper und n natürliche zahl. wenn die rechte aussage gilt (mit annahme, dass damit das gleiche gemeint ist wie ich gesagt hab) dann gilt auch für die kobasis von W* bzgl der kanonischen basis von W die rechte aussage. die kobasis bildet eta auf seine jeweiligen komponenten in K ab. die müssen dann ja aber alle 0 sein. dementsprechend besteht eta nur aus 0en, ist also der 0-vektor
mich wundert, dass er eine gleichheit von Ker phi mit N'(im phi*) will, macht das euer prof öfter so dass er statt kanonischem isomorphismus gleichheit schreibt? ─ b_schaub 25.05.2020 um 19:22
Kurze Frage: was ist ein kanonischer Isomorphismus? Also das ein Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist, ist klar und auch dass V und V* isomorph sind, aber warum kanonisch?
Und ja ich würd sagen, unser Prof schreibt das immer so. ─ karamellkatze 26.05.2020 um 10:03
dementsprechend ist der annulator untermenge von V**
V und V* sind nicht kanonisch isom, sondern V und V**. der isom ist gegeben durch v -> (f:V*->K, g -> g(v))
wegen der natürlichkeit des isoms kann man die elemente aus V mit denen aus V** identifizieren - es macht also sinn von gleichheit und nicht nur von isomorphie zu sprechen (auch wenn ich finde das euer prof etwas dazu hätte schreiben können inwiefern da gleichheit gilt bei ker phi = N'(im phi^T)) ─ b_schaub 26.05.2020 um 12:20