Wenn eine (reelle) Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton und beschränkt ist, dann konvergiert sie immer (und ist damit eine Cauchyfolge). Das ist auch recht einfach zu beweisen:

Wir nehmen ohne Einschränkung an, dass die Folge monton wächst. Wegen der Beschränktheit, existiert ein Supremum \(S\) der Folge. Sei nun ein beliebiges \( \varepsilon > 0 \) gegeben. Aus der Eigenschaft des Supremums folgt \( a_{n_0} \in B_{\varepsilon}(S) \) für ein \( n_0 \in \mathbb{N} \). Wegen der Monotonie der Folge gilt dann aber auch \( a_n \in B_{\varepsilon}(S) \) für alle \( n \ge n_0 \). Und da \( \varepsilon > 0 \) beliebig war, folgt sofort \( \lim_{n \to \infty} a_n = S \).