Dimension eines Vektors

Aufrufe: 265     Aktiv: 9 Monate, 2 Wochen her

0

Hallo, 

normalerweise spricht man über die Dimension eines Vektorraums. Die entspricht der Anzahl der Elemente ihrer Basis. Wie siehts aus mit der Dimension von Untervektorräumen aus einem Element? 

Speziell dieser Fall: Sei V ein K-Vektorraum mit V=R^3 und U ein Untervektorraum mit U=L((1,1,0)) 

Weshalb ist die Dimension von U gleich 1? 

Danke 

gefragt 9 Monate, 2 Wochen her
alisa
Punkte: 33

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Weil die Basis des Untervektorraums aus nur einem Element besteht, hier dem Vektor (1, 1, 0). Ein Unterraum, der von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, ist dementsprechend zweidimensional.

geantwortet 9 Monate, 2 Wochen her
digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.66K
 

Für was steht das "L" ?   ─   ChrissiSchmid 9 Monate, 2 Wochen her

Wahrscheinlich für "Linearer Unterraum". Eine alternative Schreibweise für "span".   ─   digamma 9 Monate, 2 Wochen her

Danke, für mich ist das trotzdem nicht verständlich. Kann man den Vektor denn nicht in zwei Basisvektoren (1,0,0) und (0,1,0) aufspalten?
Ich weiß dass es einfacher ist als ich denke, komme aber nicht drauf :/
  ─   alisa 9 Monate, 2 Wochen her

Ich denk eher, dass er das transponierte meint. Sonst ist das doch nicht mal ein Vektor aus dem R^3. Dann würde das mit der Dimension 1 des UVR auch stimmen? Oder bin ich gerade auf dem Holzweg?   ─   ChrissiSchmid 9 Monate, 2 Wochen her

L soll die lineare Hülle sein   ─   alisa 9 Monate, 2 Wochen her

@ChrissiSchmid: Das ist ein Irrtum, dass man Vektoren aus dem R^3 als Spaltenvektoren schreiben muss. Das muss man nur, wenn man Matrizen darauf anwenden möchte. Ansonsten ist es einfach praktisch zum Rechnen, weil die Einträge, die miteinander verrechnet werden, in einer Zeile stehen. Die Elemente von R^3 sind aber einfach 3-Tupel von Zahlen, und die kann man auch in einer Zeile schreiben.   ─   digamma 9 Monate, 2 Wochen her

@alisa: Die beiden Vektoren (1, 0, 0) und (0, 1, 0) liegen aber nicht in dem Untervektorraum. Die Basis eines (Unter-)Vektorraums muss in diesem Vektorraum enthalten sein. Sonst spannt sie einen größeren (Unter-)Vektorraum auf.   ─   digamma 9 Monate, 2 Wochen her

Wenn du die Lineare Hülle einer Menge von linear unabhängigen Vektoren bildest, dann bilden genau diese Vektoren eine Basis. Das ist die Definition einer Basis: Sie ist linear unabhängig und ihre lineare Hülle ist der betrachtete Vektorraum.

Ein einzelner Vektor, der nicht der Nullvektor ist, ist immer linear unabhängig. Da (1,1,0) deinen Untervektorraum aufspannt, besteht die Basis aus nur diesem einen Vektor.
  ─   digamma 9 Monate, 2 Wochen her

Okey, also erstmal bedanke ich mir bei dir.
Damit ich es richtig verinnerliche, kannst du eventuell sagen wieso:
Der Untervektorraum mit (λ1, λ2) zweidimensional ist, aber mit (λ1, λ1) eindimensional.

  ─   alisa 9 Monate, 2 Wochen her

Hier wird nicht die Basis angegeben, sondern `lambda _1` und `lambda_2` durchlaufen alle Werte von `RR` bzw. `K`. Die Basis besteht im ersten Fall aus (0, 1) und (1, 0), im zweiten Fall aus dem einen Vektor (1, 1). Vielleicht sieht man das besser an folgernder Darstellung:
\((\lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1)\)
\((\lambda_1, \lambda_1) = \lambda_1(1,1)\)
  ─   digamma 9 Monate, 2 Wochen her

Danke :)   ─   alisa 9 Monate, 2 Wochen her
Kommentar schreiben Diese Antwort melden