Beweis mittels Satz von Gauß

Aufrufe: 552     Aktiv: 24.10.2021 um 11:40
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Hi, ich soll zeigen dass folgender Ausdruck gültig ist:


Ich hab bereits etwas rumprobiert. Mein Ansatz wäre das zuerst über den Levi-Civita-Tensot umzuschreiben:
`\intd^3 x\epsilon_{ijk}u_i\del_jv_k` und dass dann umzyklen zu `-\intd^3x \epsilon_{ijk}\del_iu_iv_k`. 
Nun kann ich mir vorstellen dass man eventuell mit der Produktregel auf den gesuchten Ausdruck kommt.
Ist dass den so richtig oder bin ich auf dem falschen Pfad? Außerdem frag ich mich wie es dazu kommt dass aus dem Volumenintegral ein Integral über das Volumen und das andere über den Rand gebildet wird?
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Nun, der Gaußsche Satz dient ja zur Umwandlung eines Flußintegral in ein Volumenintegral (oder umgekehrt). Daher ist das letzte Integral gleich
\(\int_V rot(\vec{u} \times \vec{v}) d^3x = \int_V \nabla \times (\vec{u} \times \vec{v}) d^3x\). Die zu beweisene Gleichung ist quasi eine "Produktregel". Versuch es einmal selbst. Hier noch ein Tipp: Siehe dazu auch mein Video über Vektorrechnung, speziell "doppeltes Vektorprodukt".
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