0

Grüße,
ich soll untersuchen, ob gewisse Vorschriften ein inneres Produkt auf dem Vektorraum \( V = P_n \) der Polynome vom Grad \( n \) definieren:


1) \( <p, q> = \int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx \)
Linearität im ersten Argument und Symmetrie habe ich bereits untersucht;

Symmetrie:
\( <p, q> = \int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx = \int_{-1}^1{q(x)p(x)}dx = <q, p> \)
Lin. im erst. Arg.:
\( 1) <p+q, w> = \int_{-1}^1{(p(x)+q(x))w(x)}dx = \int_{-1}^1{(p(x)w(x)+q(x)w(x))}dx = \int_{-1}^1{p(x)w(x)}+\int_{-1}^1{q(x)w(x)}dx = <p,w> + <q,w> \)
\( 2) <sp, q> = \int_{-1}^1{(sp(x))q(x)}dx = \int_{-1}^1{sp(x)q(x)}dx = s\int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx = s<p,q>\)

Nun kommt die positive Definitheit, welche mir Probleme bereitet (Nummer 2):
1) \( p=0 <=> <p,p> = \int_{-1}^1{0\cdot0dx=0} \)
2) \( <p,p> = \int_{-1}^1{p(x)p(x)dx} = \int_{-1}^1{(p(x))^2dx} = \int_{-1}^1{(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)\cdot(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)dx} = \)
  \( = \int_{-1}^1{(p_0^2x^0+p_0p_1x^1+p_0p_2x^2+...+p_0p_nx^n+p_1^2x^2+p_1p_2x^3+...+p_1p_nx^{n+1}+p_2^2x^4+...+p_2p_nx^{n+2}+...+p_n^2x^{2n})dx}\)
Durch die Quadrate sind einige Elemente \(  \{ p_0^2x^0, p_1^2x^2, p_2^2x^4, ...\} \ge 0 \), ich weiß hier allerdings nicht weiter.
Aus der Lösungsangabe weiß ich, dass die Definitheit gegeben ist. Erklärt wird es dort durch
"Die Eigenschaften eines inneren Produkts folgen unmittelbar aus den Eigenschaften von bestimmten Integralen" und
"Der Beweis der Definitheit verwendet den Satz über die Vorzeichenbeständigkeit stetiger Funktionen."



2) \( <p, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx \)
Zusatzangabe: "Die Resultate gelten ungeändert falls V jeweils der Vektorraum von integrierbaren Funktionen ist, für welche die auftretenden Integrale einen endlichen Wert annehmen."

Ähnlich dem ersten Beispiel stellten hier ebenso sowohl Linearität im ersten Argument als auch Symmetrie kein Problem dar:

Symmetrie:
\( <p, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}q(x)p(x)}dx = <q, p> \)
Lin. im erst. Arg.:
\( 1) <p+q, w> = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x)+q(x))w(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x)w(x)+q(x)w(x))}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)w(x)}+\int_0^{\infty}{e^{-x}q(x)w(x)}dx = <p,w> + <q,w> \)
\( 2) <sp, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}(sp(x))q(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}sp(x)q(x)}dx = s\int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx = s<p,q>\)

Mit der positiven Definitheit habe ich allerdings wieder Probleme.
1) \( p=0 <=> <p,p> = \int_0^{\infty}{e^{-x}0\cdot0dx=0} \)
2) \( <p,p> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)p(x)dx} = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2dx} = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)\cdot(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)dx} = \)
  \( = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p_0^2x^0+p_0p_1x^1+p_0p_2x^2+...+p_0p_nx^n+p_1^2x^2+p_1p_2x^3+...+p_1p_nx^{n+1}+p_2^2x^4+...+p_2p_nx^{n+2}+...+p_n^2x^{2n})dx}\)
Wieder stehe ich an derselben Stelle. Die Elemente \(  \{ p_0^2x^0, p_1^2x^2, p_2^2x^4, ...\} \ge 0 \), aber was ist mit dem Rest? Zu diesem Beispiel kommt auch noch die obere Schranke des Integrals (\({\infty}\)) ins Spiel; die "Definitheit ist gegeben, da die Gewichtsfunktion \( w(x) = e^{-x} \) auf [0, \({\infty}\)) positiv ist."



Bis jetzt ist der einzige Weg, den ich gelernt habe, um die positive Definitheit eines Skalarproduktes zu prüfen, jener, bei der Quadrierung des stellvertrendenden Elementes (sei es ein Vektor, sei es Polynom), alle Komponenten zu prüfen, mit dem Ziel, dass jede davon \( \ge 0 \) ist.
Die Erklärungen der positiven Definiertheit mit den genannten Sätzen (ich habe sie farblich markiert) leuchtet mir zwar "irgendwo" ein, aber wirklich verstanden habe ich es noch nicht. Hier bitte ich um Hilfe: Habe ich den richtigen Ansatz; und was genau sagen die angegebenen Begründungen für die postive Definitheit aus?

Vielen Dank an jeden, der sich Zeit nimmt!

gefragt

Student, Punkte: 49

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
Zur 1) Für die positive Definitheit können wir wie folgt vorgehen:

Aus der Monotonie des Integrals folgt sofort
\( \langle p, p \rangle \) \( = \int_{-1}^1 (p(x))^2 \ dx \) \( \ge \int_{-1}^1 0 \ dx = 0 \)

Ist nun \( p \neq 0 \), dann muss es ein \( x_0 \in (-1,1) \) geben mit \( (p(x_0))^2 > 0 \). Wegen der Stetigkeit von \( p \) finden wir dann ein \( \delta > 0 \), sodass \( m = \min\{(p(x))^2 \ \vert \ x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta ] \} > 0 \) ist (Das folgt im Wesentlichen aus dem Satz von der Vorzeichenbeständigkeit stetiger Funktionen). Dabei können wir ohne Einschränkung das \( \delta \) so klein wählen, dass \( [x_0 - \delta, x_0 + \delta ] \subset (-1,1) \) ist. Und damit folgt nun
\( \langle p, p \rangle \) \( = \int_{-1}^1 (p(x))^2 \ dx \) \( = \int_{-1}^{x_0 - \delta} (p(x))^2 \ dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} (p(x))^2 \ dx + \int_{x_0 + \delta}^1 (p(x))^2 \ dx \) \( \ge \int_{-1}^{x_0 - \delta} 0 \ dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} m \ dx + \int_{x_0 + \delta}^1 0 \ dx \) \( = 2 \delta m > 0 \)
Also kann \( \langle p,p \rangle = 0 \) nur dann gelten, wenn \( p = 0 \) ist.

Bei der 2) kannst du dann analog vorgehen. Du musst in der Argumentation nur das \( e^{-x} \) beachten.

Zur Zusatzaufgabe kann ich so leider nichts sagen, weil ich nicht weiß, was bei euch "integrierbare Funktionen" sind. Aber ich hoffe, meine Antwort hilft dir schon mal weiter.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 5.53K
 

Vielen, vielen Dank für die Antwort!

Diese Erklärung leuchtet mir ein und ich denke ich habe sie nun ganz gut verstanden. Kannst du mir noch erklären, was genau \(\delta\) und \(x_0\) in diesem Fall sind (wieso kann ich beispielsweise nicht einfach \(x\) verwenden)? 



Bei 2) bin ich mir noch nicht ganz sicher, wie ich mit der Gewichtsfunktion \( w(x) = e^{-x}\) (ich nehme an, dass diese eine Gewichtsfunktion ist? Also im Sinne von "Es sei \( w(x) \) eine fest gewählte, auf \( [a, b] \) positive und stetige Funktion (Gewichtsfunktion). Dann definiert \( < f,g >_w := \int_a^b{w(x)f(x)g(x)}dx \) ein inneres Produkt auf \( C[a, b] \). ") umgehen soll, auch bin ich mir wegen der Integralsgrenzen unsicher, da ja eine davon unendlich ist.
Mein Versuch für 2):

\( < p, q > = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx \) ................... \( p, q ∈ P_n \)
wenn \(p \neq 0 \Rightarrow x_0 ∈ [0, \infty) \) mit \( p(x))^2 > 0 \)
Stetigkeit: \( \delta > 0 \)
Minimalwert \( m=min\{ (p(x))^2 | x ∈ [x_0-\delta, x_0+\delta ] \} \) mit \( [x_0-\delta, x_0+\delta ] ⊂ [0, \infty) \)
Monotonie: \( < p, p > = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2}dx \ge \int_0^{\infty}{0}dx \) ................... \( e^{-x}>0 \text{ in }[0, \infty) \)

\( < p, p > = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2}dx = \int_0^{x_0-\delta}{e^{-x}(p(x))^2}dx + \int_{x_0 -\delta}^{x_0+\delta}{e^{-x}(p(x))^2}dx + \int_{x_0+\delta}^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2}dx \ge \int_0^{x_0-\delta}{0}dx + \int_{x_0 -\delta}^{x_0+\delta}{m}dx + \int_{x_0+\delta}^{\infty}{0}dx = 2 \delta m > 0 \)
\( \Rightarrow < p, p > = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2}dx > 2 \delta m > 0 \)
  ─   arcturus0815 19.03.2021 um 20:48

1
Zur ersten Frage: Du musst zwischen einem beliebigem \( x \)-Wert und einer ganz bestimmten Stelle \( x_0 \) unterscheiden. Dass \( p \neq 0 \) ist, bedeutet nicht, dass \( (p(x))^2 \) nicht auch Null werden kann. Beispielsweise ist \( p=x^2-1 \) ein Polynom mit \( p \neq 0 \), aber \( (p(1))^2 = 0 \). Man kann also nicht sagen, dass \( (p(x))^2 > 0 \) ist. Der Punkt ist aber, dass wenn \( p \neq 0 \) ist, man immer eine Stelle \( x_0 \) finden kann, für die \( (p(x_0))^2 > 0 \) ist. Ich hoffe, der Unterschied ist damit klargeworden.
Dann ist der weitere Gedankengang, dass \( p \) und somit auch \( p^2 \) stetig sind. Wenn nun \( (p(x_0))^2 \) größer als Null ist, dann ist \( (p(x))^2 \) auch in einer kleinen Umgebung von \( x_0 \) noch größer als Null. Diese kleine Umgebung soll \( [x_0 - \delta, x_0 + \delta ] \) sein (Wenn das \( \delta \) klein genug ist, dann passt das auf jeden Fall). Auf dieser kompakten Menge nimmt \( p^2 \) nun ein Minimum an (Satz vom Minimum und Maximum). Dieses Minimum habe ich \( m \) genannt. Und wir haben alles so konstruiert, dass \( m > 0 \) ist.
Was jetzt konkret \( x_0 \) und \( \delta \) sind, kann man nicht sagen. Es reicht aber auch einfach, dass wir wissen, dass sie existieren.

Zur zweiten Frage: Hier läuft fast alles so wie vorher. Man muss die Gewichtsfunktion nur irgendwo reinmogeln.
Ich würde statt \( (p(x))^2 \) einfach \( w(x) (p(x))^2 \) betrachten. Die Argumentation ist genau die gleiche:
Wenn \( p \neq 0 \) ist, dann gibt es ein \( x_0 \in (a,b) \) mit \( w(x_0) (p(x_0))^2 > 0 \). Und da \( p \) und \( w \) und somit auch \( w \cdot p^2 \) stetig sind, muss es ein \( \delta > 0 \) geben, sodass \( m=\min\{w(x) (p(x))^2 \ \vert \ x \in [ x_0 - \delta, x_0 + \delta] \} > 0 \) ist. Und wir gehen einfach davon aus, dass wir unser \( \delta \) so klein gewählt haben, dass \( [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \subset [a,b] \) ist (Das ist übrigens nur eine "Vorsichtsmaßnahme", damit die Integrale \( \int_a^{x_0 - \delta} \) und \( \int_{x_0+\delta}^b \) überhaupt Sinn ergeben).
Und dann kann man wieder das Integral \( \int_a^b \) unterteilen in die Integrale \( \int_a^{x_0 - \delta} \), \( \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \) und \( \int_{x_0+\delta}^b \), wobei man beim ersten und letzten den Integrand durch \( 0 \) und beim zweiten durch \( m \) nach unten abschätzen kann.
Für den konkreten Fall \( w(x)=e^{-x} \) muss man nur bei den Intervallgrenzen aufpassen. Statt \( [a,b] \) muss man dann \( [0,\infty) \) schreiben. Aber ansonsten ändert sich nichts. Alle Argumente und vor allem die Rechenregeln, die wir für die Integrale verwendet haben, gelten weiterhin.
Ich hoffe, damit kannst du nun deinen Beweisversuch entsprechend überarbeiten. Die Monotonie hast du übrigens schon richtig verwendet. Du solltest dann aber noch der Vollständigkeit halber schreiben, dass \( \int_0^{\infty} 0 \ dx = 0 \) ist.
  ─   anonym 19.03.2021 um 21:56

Wieder möchte ich Danke sagen. Das war eine sehr gute Erklärung!
Ich verstehe jetzt die Vorgehensweise wesentlich besser, sowohl mit \( x_0 \) als auch mit \( \delta \). Ich denke eigentlich ist mir jetzt alles klar, einzig was ich noch nicht verstanden habe, ist, wieso ich bei den anderen beiden (dem ersten und dem dritten) Teilintegralen auf 0 abschätzen kann und nicht auch den Minimalwert nehmen muss. Ich nehme an, dies hängt mit den Integralsgrenzen zusammen, und damit, dass diese genau das Intervall um \( x_0 \), in dem \( (p(x))^2 >0 \) sind.
  ─   arcturus0815 22.03.2021 um 04:50

1
Genau, das liegt an den Grenzen.
Generell gilt: Wenn \( f(x) \ge g(x) \) für alle \( x \in [a,b] \) gilt, dann gilt \( \int_a^b f(x) \ dx \ge \int_a^b g(x) \ dx \).
Wir haben den Satz folgendermaßen benutzt: Es gilt \( w(x) (p(x))^2 \ge 0 \) für alle \( x \in [a,x_0-\delta] \) und deshalb ist \( \int_a^{x_0-\delta} w(x) (p(x))^2 \ dx \ge \int_a^{x_0-\delta} 0 \ dx \). Es gilt \( w(x) (p(x))^2 \ge m \) für alle \( x \in [x_0-\delta,x_0+\delta] \) und deshalb ist \( \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} w(x) (p(x))^2 \ dx \ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} m \ dx \). Und es gilt \( w(x) (p(x))^2 \ge 0 \) für alle \( x \in [x_0+\delta,b] \) und deshalb ist \( \int_{x_0+\delta}^b w(x) (p(x))^2 \ dx \ge \int_{x_0+\delta}^b 0 \ dx \).
Ich hoffe, das ist jetzt klar geworden :)
  ─   anonym 22.03.2021 um 12:48

Ja, jetzt habe ich auch das verstanden. Super, danke sehr! :)   ─   arcturus0815 22.03.2021 um 21:58

Kommentar schreiben