Grüße,
ich soll untersuchen, ob gewisse Vorschriften ein inneres Produkt auf dem Vektorraum \( V = P_n \) der Polynome vom Grad \( n \) definieren:


1) \( <p, q> = \int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx \)
Linearität im ersten Argument und Symmetrie habe ich bereits untersucht;

Symmetrie:
\( <p, q> = \int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx = \int_{-1}^1{q(x)p(x)}dx = <q, p> \)
Lin. im erst. Arg.:
\( 1) <p+q, w> = \int_{-1}^1{(p(x)+q(x))w(x)}dx = \int_{-1}^1{(p(x)w(x)+q(x)w(x))}dx = \int_{-1}^1{p(x)w(x)}+\int_{-1}^1{q(x)w(x)}dx = <p,w> + <q,w> \)
\( 2) <sp, q> = \int_{-1}^1{(sp(x))q(x)}dx = \int_{-1}^1{sp(x)q(x)}dx = s\int_{-1}^1{p(x)q(x)}dx = s<p,q>\)

Nun kommt die positive Definitheit, welche mir Probleme bereitet (Nummer 2):
1) \( p=0 <=> <p,p> = \int_{-1}^1{0\cdot0dx=0} \)
2) \( <p,p> = \int_{-1}^1{p(x)p(x)dx} = \int_{-1}^1{(p(x))^2dx} = \int_{-1}^1{(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)\cdot(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)dx} = \)
  \( = \int_{-1}^1{(p_0^2x^0+p_0p_1x^1+p_0p_2x^2+...+p_0p_nx^n+p_1^2x^2+p_1p_2x^3+...+p_1p_nx^{n+1}+p_2^2x^4+...+p_2p_nx^{n+2}+...+p_n^2x^{2n})dx}\)
Durch die Quadrate sind einige Elemente \(  \{ p_0^2x^0, p_1^2x^2, p_2^2x^4, ...\} \ge 0 \), ich weiß hier allerdings nicht weiter.
Aus der Lösungsangabe weiß ich, dass die Definitheit gegeben ist. Erklärt wird es dort durch
"Die Eigenschaften eines inneren Produkts folgen unmittelbar aus den Eigenschaften von bestimmten Integralen" und
"Der Beweis der Definitheit verwendet den Satz über die Vorzeichenbeständigkeit stetiger Funktionen."



2) \( <p, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx \)
Zusatzangabe: "Die Resultate gelten ungeändert falls V jeweils der Vektorraum von integrierbaren Funktionen ist, für welche die auftretenden Integrale einen endlichen Wert annehmen."

Ähnlich dem ersten Beispiel stellten hier ebenso sowohl Linearität im ersten Argument als auch Symmetrie kein Problem dar:

Symmetrie:
\( <p, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}q(x)p(x)}dx = <q, p> \)
Lin. im erst. Arg.:
\( 1) <p+q, w> = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x)+q(x))w(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x)w(x)+q(x)w(x))}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)w(x)}+\int_0^{\infty}{e^{-x}q(x)w(x)}dx = <p,w> + <q,w> \)
\( 2) <sp, q> = \int_0^{\infty}{e^{-x}(sp(x))q(x)}dx = \int_0^{\infty}{e^{-x}sp(x)q(x)}dx = s\int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)q(x)}dx = s<p,q>\)

Mit der positiven Definitheit habe ich allerdings wieder Probleme.
1) \( p=0 <=> <p,p> = \int_0^{\infty}{e^{-x}0\cdot0dx=0} \)
2) \( <p,p> = \int_0^{\infty}{e^{-x}p(x)p(x)dx} = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p(x))^2dx} = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)\cdot(p_0x^0+p_1x^1+...+p_nx^n)dx} = \)
  \( = \int_0^{\infty}{e^{-x}(p_0^2x^0+p_0p_1x^1+p_0p_2x^2+...+p_0p_nx^n+p_1^2x^2+p_1p_2x^3+...+p_1p_nx^{n+1}+p_2^2x^4+...+p_2p_nx^{n+2}+...+p_n^2x^{2n})dx}\)
Wieder stehe ich an derselben Stelle. Die Elemente \(  \{ p_0^2x^0, p_1^2x^2, p_2^2x^4, ...\} \ge 0 \), aber was ist mit dem Rest? Zu diesem Beispiel kommt auch noch die obere Schranke des Integrals (\({\infty}\)) ins Spiel; die "Definitheit ist gegeben, da die Gewichtsfunktion \( w(x) = e^{-x} \) auf [0, \({\infty}\)) positiv ist."



Bis jetzt ist der einzige Weg, den ich gelernt habe, um die positive Definitheit eines Skalarproduktes zu prüfen, jener, bei der Quadrierung des stellvertrendenden Elementes (sei es ein Vektor, sei es Polynom), alle Komponenten zu prüfen, mit dem Ziel, dass jede davon \( \ge 0 \) ist.
Die Erklärungen der positiven Definiertheit mit den genannten Sätzen (ich habe sie farblich markiert) leuchtet mir zwar "irgendwo" ein, aber wirklich verstanden habe ich es noch nicht. Hier bitte ich um Hilfe: Habe ich den richtigen Ansatz; und was genau sagen die angegebenen Begründungen für die postive Definitheit aus?

Vielen Dank an jeden, der sich Zeit nimmt!