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Das Zeichen \(\leq \) steht ja für \( = \) Oder \(< \).
Wenn man nun also \(\leq \) schreibt auch wenn man weiß, dass eigentlich sogar \(< \) gilt, hat man ja keine falsche Aussage, sondern nur eine abgeschwächte Aussage getroffen.
Für den Beweis reicht aber schon das \(\leq \), insofern hat man nur der Einfachkeithalber auf die stärkere Aussage verzichtet.
(Ganz nebenbei gilt beim ersten Fragezeichen im Falle \(n=2\) tatsächlich Gleichheit)
Wenn man nun also \(\leq \) schreibt auch wenn man weiß, dass eigentlich sogar \(< \) gilt, hat man ja keine falsche Aussage, sondern nur eine abgeschwächte Aussage getroffen.
Für den Beweis reicht aber schon das \(\leq \), insofern hat man nur der Einfachkeithalber auf die stärkere Aussage verzichtet.
(Ganz nebenbei gilt beim ersten Fragezeichen im Falle \(n=2\) tatsächlich Gleichheit)
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b_schaub
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Jetzt versteh ich erst so richtig das Problem.
Die erste Ungleichung verstehst du ja anscheinend (die ja nach Konstruktion gilt)
Die zweite Ungleichung gilt aber aus dem genau gleichen Grund. Denn es ist ja \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \). demnach haben wir also \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \leq q \cdot d(x_{n-2} , x_{n-3}) \) (ebenso nach Konstruktion) . Dieses Argument lässt sich also rekursiv fortsetzen, sodass wir am ende genau das gewünschte dort stehen haben. ─ b_schaub 14.04.2021 um 22:24
Die erste Ungleichung verstehst du ja anscheinend (die ja nach Konstruktion gilt)
Die zweite Ungleichung gilt aber aus dem genau gleichen Grund. Denn es ist ja \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \). demnach haben wir also \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \leq q \cdot d(x_{n-2} , x_{n-3}) \) (ebenso nach Konstruktion) . Dieses Argument lässt sich also rekursiv fortsetzen, sodass wir am ende genau das gewünschte dort stehen haben. ─ b_schaub 14.04.2021 um 22:24
Vielen Dank. Hab's jetzt verstanden :-)
─
sorcing
14.04.2021 um 23:01
Wenn jetzt q meinetwegen 0,8, n = 3 dann ist \(q^{n-1}\) = 0,64.
Aber es gilt ja nicht 0,8 ≤ 0,64 wie es für mich im Beweis den Anschein macht. ─ sorcing 14.04.2021 um 21:19