Banach'scher Fixpunktsatz

Aufrufe: 56     Aktiv: 14.04.2021 um 23:01

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Hallo, 

Satz:
Wenn M ein vollständiger metrischer Raum ist und \(G\): \(M\) \(\to\) \(M\) eine Kontraktion, dann hat \(G\) genau einen Fixpunkt \(x\) \(\in\) \(M\). Dieser ist Grenzwert jeder Folge \(x_n\) definiert durch einen beliebigen Startwert \(x_0\) \(\in\) \(M\) und die Rekurssionsvorschrift \(x_n\) = \(G(x_{n-1})\)

Meine Frage ist jetzt im Beweis (siehe Foto) die Umformungen, markiert mit einem Fragezeichen. 
Und zwar beim ersten Fragezeichen weiß ich das \(q\) < 1 ist, also muss ja \(q^{n-1}\) < \(q\) sein. Aber dann stimmt ja die Ungleichung ≤ im Beweis nicht. 

Das zweite Fragezeichen hängt mit dem ersten zusammen, wenn ich das verstanden habe, dann hoffentlich auch das Zweite. Aber so klar ist mir das nicht.
Danke 
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1 Antwort
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Das Zeichen \(\leq \) steht ja für \( = \) Oder \(< \).

Wenn man nun also \(\leq \) schreibt auch wenn man weiß, dass eigentlich sogar \(< \) gilt, hat man ja keine falsche Aussage, sondern nur eine abgeschwächte Aussage getroffen.

Für den Beweis reicht aber schon das \(\leq \), insofern hat man nur der Einfachkeithalber auf die stärkere Aussage verzichtet.

(Ganz nebenbei gilt beim ersten Fragezeichen im Falle \(n=2\) tatsächlich Gleichheit)
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Danke für deine Antwort, aber löst mein Problem nicht. Mir ist nicht klar, warum überhaupt ≤ gilt, wenn q doch größer ist als \(q^{n-1}\)

Wenn jetzt q meinetwegen 0,8, n = 3 dann ist \(q^{n-1}\) = 0,64.
Aber es gilt ja nicht 0,8 ≤ 0,64 wie es für mich im Beweis den Anschein macht.
  ─   sorcing 14.04.2021 um 21:19

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Jetzt versteh ich erst so richtig das Problem.

Die erste Ungleichung verstehst du ja anscheinend (die ja nach Konstruktion gilt)

Die zweite Ungleichung gilt aber aus dem genau gleichen Grund. Denn es ist ja \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \). demnach haben wir also \(d(x_{n-1} , x_{n-2}) = d(G(x_{n-2}), G(x_{n-3})) \leq q \cdot d(x_{n-2} , x_{n-3}) \) (ebenso nach Konstruktion) . Dieses Argument lässt sich also rekursiv fortsetzen, sodass wir am ende genau das gewünschte dort stehen haben.
  ─   b_schaub 14.04.2021 um 22:24

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Es hat sich ja nicht nur der Exponent von q geändert, sondern auch der Abstand d(...) daneben. Hier wurde n-2mal die Kontraktionseigenschaft angewandt, dadurch wird aus q eben q^(n-1) und aus d(x_{n-1},x_{n-2}) eben d(x_1,x_0).   ─   mikn 14.04.2021 um 22:27

Vielen Dank. Hab's jetzt verstanden :-)   ─   sorcing 14.04.2021 um 23:01

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