Indem man versucht den Zähler so umzuschreiben, dass er der Ableitung entspricht. Hier indem man geschickt eine \( 1\) multipliziert.

\(\int\frac{x+2}{x^2+4x-3}dx=\frac{2}{2}\int\frac{x+2}{x^2+4x-3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x-3}dx\)

Das ist ein gängiger Trick, den man im Hinterkopf behalten sollte. Hier geht es natürlich auch über Substitution.

\( u=x^2+4x-3\)

\(\frac{du}{dx}=2x+4\Leftrightarrow \frac{1}{2x+4}du=dx\)

\( \int\frac{x+2}{u}\frac{1}{2x+4}du=\int\frac{1}{u}\frac{1}{2}du\)

was letztendlich das Gleiche ist wie oben. Im Grunde ist das erste hier nur eine Abkürzung. Gibt aber Situationen da geht es nur über den ersten Weg und nicht über die Substitution. Dann hat der Zähler in der Regel aber auch wenig mit der Ableitung des Nenners zu tun.