Also, für a) musst du dir eigentlich nur das Glücksrad aufmalen: ein Kreis mit zwei Diagonalen, jedes Viertel ist gleich groß. Dann sollst du in jedes Viertel eine der vorgegebenen Ziffern schreiben, so dass „die Ziffer 5 mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 und die Ziffern 1 und 3 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 erzeugt wird.“

Wie oft schreibst du also 5, wie oft 1 und wie oft 3?

zu b, A)

Die 5 soll bei zehn Versuchen genau vier mal auftreten, und sie ist genauso wahrscheinlich wie „nicht 5“. Dafür gibt es einen Ausdruck „4 aus 10“ oder „10 über 4“, geschrieben \( \binom{10}{4} \), was man einen Binomialkoeffizienten nennt. (Schau nach bei Wikipedia, unter „Definition“ findest du die Formel.)

Du bekommst eine (ganze) Zahl, wie viele Möglichkeiten es gibt, die vier 5-er zu bekommen, Das musst du noch durch alle Möglichkeiten überhaupt teilen – das sind (2 Möglichkeiten an der ersten Stelle) x (2 Möglichkeiten an der zweiten Stelle) x ... x (2 Möglichkeiten an der zehnten Stelle) \( = 2 \times 2 \times \dots \times 2 \)

zu b, B)

Hier musst du die Ereignisse „keine 5“ oder „genau eine 5“ oder „genau zwei 5-er“ addieren, Formel wie oben.

zu b, C)

Diesmal sind es die Ereignisse „genau zwei 5-er“, „genau drei 5-er“, ..., „ genau zehn 5-er“.

Oder du machst es dir etwas einfacher und berechnest das Gegenereignis „keine 5“ oder „genau eine 5“. Dessen Wahrscheinlichkeit ziehst du von 1 ab. \(p(X) + p(\text{nicht } X) = 1\)

(ich speichere das mal ab...)

zu b, D)

Jetzt wird's ein bisschen komplizierter. Die 3 soll häufiger als die anderen beiden Ziffern auftreten, d.h. wie oft mindestens? – Genau, sechs mal oder mehr. Die Anzahl Möglichkeiten \(\binom{10}{6}\), etc. kannst du genauso rechnen wie B) und C).

Aber diesmal muss man nicht mit \(\frac 1{2^{10}}\) multiplizieren – eigentlich wäre das nämlich \(\bigl(\frac 12\bigr)^n \cdot \bigl(\frac 12\bigr)^{10-n}\) gewesen, und hier braucht es \(\bigl(\frac 14\bigr)^n \cdot \bigl(\frac 34\bigr)^{10-n}\), weil die 3 nur mit Wahrscheinlichkeit \(\frac 14\) auftritt und jede „nicht 3“ mit Wahrscheinlichkeit \(\frac 34\).

zu b, E)

So ein Ergebnis ist nicht möglich! Die kleinste Summe wäre nämlich \( 1 + 1 + \ldots + 1 = 10 \). Und die Wahrscheinlichkeit einnes unmöglichen Ereignisses ist ... na, was wohl?

zu c)

Der Erwartungswert ist das durchschnittlich zu erwartende Ergebnis, und bei unabhängigen Ereignissen darf man die einzelnen Erwartungswerte einfach addieren.

Schau dir die Skizze von a) nochmal an. Der Durchschnitt bei einmaligem Drehen ist \((1 + 2 + 5 + 5) / 4\), beim zweiten Mal genauso, zusammen also ...