Isomorphismus

Aufrufe: 333     Aktiv: 11.01.2022 um 18:48
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Aufgabe: Sei \( E X P=\left\{e^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \subseteq \mathbb{R} \) Zeigen Sie, dass \( (\mathbb{Z},\langle\rangle,\langle+\rangle,\langle-\rangle,\langle 0\rangle) \) isomorph zu \( \left(E X P,\langle\rangle,\langle\cdot\rangle,\left\langle^{-1}\right\rangle,\langle 1\rangle\right) \) über den Isomorphismus \( \phi: \mathbb{Z} \rightarrow E X P, x \mapsto e^{x} \) ist. Sie können dafür ohne Beweis annehmen, dass \( \phi \) bijektiv ist. Hinweis: Es ist \( z^{-1}=\frac{1}{z} \). Problem: 

Kann mir jemand erklären, wie genau ich dies zeigen kann?
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Da du verwenden darfst, dass \(\phi\) bijektiv ist, musst du nur noch zeigen, dass \(\phi\) ein Homomorphismus ist. Zeige also für \(a,b \in \mathbb{Z}\), dass \(\phi(a+b)=\phi(a)\cdot \phi(b)\), das ist eigentlich ganz einfach. Kommst du jetzt weiter?
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