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Hallo an Alle,

Meine Frage ist, ob die Verkettung/Komposition von einer stetigen und einer unstetigen Funktion auch unstetig ist bzw. ob es bereits als Bedingung ausreicht, dass eine der Funktionen unstetig ist, um zu schussfolgern, dass auch die Verkettung dieser unstetigen Funktion unstetig ist, oder ob es auch sein kann, dass die Komposition einer stetigen und einer unstetigen Funktion wieder stetig ist.

In der Vorlesung wurde zwar erwähnt, dass die Verkettung von stetigen Funktionen stetig ist, aber es wurde nichts darüber gesagt was passiert, wenn eine der Funktionen in der Verkettung unstetig ist.

gefragt 1 Woche, 2 Tage her
anonym
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1 Antwort
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Der Grund dafür, dass darüber nichts in der Vorlesung gesagt wurde, ist, dass man im Allgemeinen nichts darüber sagen kann, ob die Komposition zweier Funktionen stetig ist, wenn eine oder beide Funktionen nicht stetig sind. Betrachte z.B. \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\) $$f(x)=\mathbf1_{\mathbb R_\geq}(x):=\begin{cases}1,&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}\qquad\text{ für alle }x\in\mathbb R.$$ Offensichtlich ist \(f\) unstetig, da die Funktion bei der \(0\) einen Sprung macht. Aber \(f\circ f=1\) ist stetig. Natürlich kann man sich auch ähnliche Beispiele überlegen, bei denen eine der verketteten Funktionen stetig und die andere unstetig ist.

geantwortet 1 Woche, 2 Tage her
stal
Punkte: 1.47K
 
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