Die Antwort wird zwar etwas länger und ich bin mir nicht sicher, ob es eine deutlich leichtere Lösung gibt aber ich hoffe du kannst hiermit trotzdem etwas anfangen:

\(f(x)=ae^{bx^2}+c\)

Deine Bedingungen sind:

\(f(-4)=0~~~~~f(4)=0~~~~~f'(-4)=1~~~~~f'(4)=-1~~~~~f''(4)=0~~~~~f''(-4)=0\)

Die Ableitungen sind:

\(f'(x)=2abxe^{bx^2}\)

\(f''(x)=2abe^{bx^2}(1+2bx^2)\)

Durch Einsetzen erhälst du:

\(ae^{16b}+c=0\)

\(ae^{16b}+c=0\)

\(-8abe^{16b}=1\)

\(8abe^{16b}=-1\)

\(2abe^{16b}(a+32b)=0\)

\(2abe^{16b}(a+32b)=0\)

Wie du sieht, ergeben sich 6 Bedingungen, wobei immer zwei gleich sind. Da wir nur drei Unbekannte haben, reichen uns die drei Bedingungen. Wir arbeiten also im Folgenden daran, das Gleichungssystem

\(ae^{16b}+c=0\)

\(-8abe^{16b}=1\)

\(2abe^{16b}(a+32b)=0\)

zu lösen.

Das kannst du schlecht in den Taschenrechner eingeben. Websiten wie WolframAlpha können dir vielleicht eine Lösung liefern. Das Ganze lässt sich jedoch auch von Hand lösen.

Dazu verwende ich das Einsetzungsverfahren. Wir formen um, dazu beginnen wir mit der ersten Gleichung und lösen diese nach \(e^{16b}\) auf:

\(ae^{16b}+c=0~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~e^{16b}=-\frac{c}{a}\)

Jetzt können wir dies in die zweite und dritte Gleichung einsetzen:

\(-8abe^{16b}=1~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~~~8ab\frac{c}{a}=1~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~8bc=1\)

\(-2ab\frac{c}{a}(1+32b)=0~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~-2bc(1+32b)=0\)

Die zweite Gleichung können wir nach \(b\) umstellen:

\(8bc=1~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~~b=\frac{1}{8c}\)

Dies setzen wir in die dritte Gleichung ein:

\(-2bc(1+32b)=-2\frac{1}{8c}c(1+32\frac{1}{8c})=0\)

\(-\frac{1}{4}(1+\frac{4}{c})=0\)

Dies lösen wir nach \(c\) auf. Wir erhalten die erste Variable:

\(1+\frac{4}{c}=0\)

\(c=-4\)

Aus dem vorherigen Zusammenhang errechnen wir \(b\).

\(b=\frac{1}{8c}=-\frac{1}{8*4}=-\frac{1}{32}\)

Damit können wir \(a\) berechnen:

\(ae^{16b}+c=0\)

\(ae^{16b}=-c\)

\(a=-\frac{c}{e^{16b}}=\frac{4}{e^{-\frac{16}{32}}}=4\sqrt{e}\)

Und wenn ich mich bis hier nicht verrechnet habe lautet die Finale Funktion:

\(f(x)=4\sqrt{e}*e^{-\frac{1}{32}x^2}-4\)

Hier auch noch mal die graphische Darstellung: https://www.desmos.com/calculator/gdbm7brx1w