Vektorraum Beweis

Aufrufe: 736     Aktiv: 27.06.2020 um 11:38
0

Hallo, 

habe folgende Aufgabe:

Sei \(\mathbb{Q}(\sqrt3) = \{a+b \sqrt3 | a,b \in \mathbb{Q}\}\)

Ich soll zeigen, dass \(\mathbb{Q}(\sqrt3)\) ein Vektorraum über \(\mathbb{Q}\) ist und eine Basis davon bestimmen.

Hab hier keine Ahnung, wie ich das zeigen kann..

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 96

 
Über welchem Körper soll das denn ein Vektorraum sein?   ─   benesalva 26.06.2020 um 13:05
Körper ist keiner definiert. Es ist nur \(\mathbb{Q}\) gegeben.   ─   mathematikmachtspaß 26.06.2020 um 13:15
Also der Körper kann schonmal nicht \(\mathbb{R}\) sein, dann dann wäre die Skalarmultiplikation nicht abgeschlossen. Also sowas wie \(\sqrt{2}\cdot v\) läge ja nicht wieder in \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) und damit wird der Körper wohl \(\mathbb{Q}\) sein. Dann ist es aber eigentlich nicht schwer die ganzen Axiome eines Vektorraums nachzuweisen, wie sie z.B. bei Wikipedia stehen.   ─   benesalva 26.06.2020 um 13:43
Wenn ich jetzt das 1. Axiom zeigen möchte, muss ich dann zeigen, dass \((a+b) \sqrt3 = a+(b \sqrt3)\)?   ─   mathematikmachtspaß 26.06.2020 um 14:42
Welches Axiom genau möchtest du denn zeigen? Das Assoziativgesetz?   ─   benesalva 26.06.2020 um 22:31
Genau.   ─   mathematikmachtspaß 27.06.2020 um 11:38
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Es ist \( \mathbb{Q}(\sqrt{3})= \{ a+b\sqrt{3} \vert a,b \in \mathbb{Q} \}=span(1, \sqrt{3}) \) und somit ist \( \mathbb{Q}(\sqrt{3})\) ein \(\mathbb{Q}\)-Untervektorraum von \( \mathbb{R} \). Da \( \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \) ist, müssen \(1\) und \(\sqrt{3}\) linear unabhängig sein und bilden daher eine Basis von \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \).

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 7.02K

 
Danke, wie kommst du auf \(span(1, \sqrt3)\) ?   ─   mathematikmachtspaß 26.06.2020 um 18:29
Das, was da steht, entspricht ja genau der Definition der linearen Hülle.   ─   42 26.06.2020 um 19:15

Kommentar schreiben