Implizites Ableiten

Aufrufe: 93     Aktiv: 04.05.2022 um 18:11

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Hallo liebe Community,

Und zwar habe ich diese Angabe:

Aber ich bin irgendwie komplett verloren. Würde mich schon darüber freuen wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier ansetze. Muss hier zuerst aus dem Gleichungssystem die Funktion formuliert werden? Habe noch nie so einen Aufgabentyp gesehen.

Vielen Dank im Voraus.
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Da ist nichts wildes dahinter. Setze wie in der Aufgabe angegeben u=u(x,y), v=v(x,y) in die Gleichungen ein. Dann leite beide Gleichungen nach x und nach y ab. Ergibt vier Gleichungen, für die vier gesuchten Ableitungen. Nach den Unbekannten umstellen, fertig.
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Ok das hört sich simpel an. Aber wie verhält sich jetzt z.B. in 1 = x * u(x,y) + y * v(x,y)) das u(x,y) beim ableiten nach x? Dann würde ich auf x*u(x,y) die Produktregel anwenden und dann steht dort 0 = 1*u(x,y) + x * ?. Wird das u(x,y) dann als Konstante behandelt?   ─   clipfix 03.05.2022 um 21:16

Kannst Du überhaupt ableiten nach einer Variablen, hier zuerst nach x? Partiell ableiten sagt man da auch. Kennst Du wirklich die Produktregel? Kannst Du z.B. den Ausdruck x*(x^3+y^2) mit Produktregel nach x ableiten?   ─   mikn 03.05.2022 um 21:35

"Wird das u(x,y) dann als Konstante behandelt?"

"Seien u und v Funktionen von x und y",
also hängt unter Anderen u von x ab und ist demnach hinsichtlich x (und auch y) ganz allgemein gerade keine Konstante! (sonst bräuchtest du ja auch keine Produktregel.)
Produktregel benutzen da hier Produkt von 2 von x abhängigen Sachen steht!
Die Ableitung von u nach x schreibst du halt einfach als du/dx hin, da du sie ja (noch) nicht kennst.
  ─   densch 04.05.2022 um 11:49

Mal als Beispiel:
Sei die Gleichung
7=u*v gegeben (u und v von x abhängig wie in der Aufgabe)

Dann wäre die implizite Ableitung nach x dann:
7 nach x abgeleitet ergibt natürlich 0.
u*v ist ein produkt von 2 sahcen, die beide von x abhängen.
Also produktregel:
(u*v)'=du/dx * v +u * dv/dx

hier kommen halt die Funktionen u,v sowie die partiellen Ableitungen du/dx und dv/dx vor.

Aber das Ganze ist nicht wirklich schwerer als normales Ableiten.
Musst nur aufpassen, wie du es schon fast falscherweise getan hättest, etwas als Konstante ableiten, was eigentlich eine Funktion von x ist.
Weil da müssen dann Produktregel, kettenregel und Co. her :-)
  ─   densch 04.05.2022 um 11:53

Man kann sich auch einfach an die Notation der Aufgabe halten. Wofür stehen denn $u_x$, $u_y$ etc.?   ─   cauchy 04.05.2022 um 12:33

Danke für die vielen Antworten, habe es geschafft :)   ─   clipfix 04.05.2022 um 18:11

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