Exponentialfunktion, Cauchy-Produkt, komplexe Zahl

Aufrufe: 44     Aktiv: 30.03.2021 um 10:59

0


Bedeutet das, dass z und w nur auf dem Einheitskreis liegen dürfen? Also 1,-1,i und -1 sein können?
Es geht hier darum, das Cauchy-Produkt anzuwenden. Die Rechnung hab ich verstanden, aber ich möchte obige Frage verstehen und ob E(z) in diesem Fall bedeutet E hoch z, wobei z nur 1,-1,i oder -1 sein darf. Hab ich das richtig verstanden?
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 145

 

Wenn \(E(z)=e^z\), dann ist \(E(z+w)=e^{z+w}=e^ze^w=E(z)E(w)\)   ─   gerdware 30.03.2021 um 09:26

Mir gehts darum, ob das z,e ELEMENT von C bedeutet, dass ich nur 1,-1,i und -i einsetzen darf.   ─   akimboslice 30.03.2021 um 09:29

Auf dem Einheitskreis liegen alle \(z\in C\) mit \(|z|=1\iff x^2+y^2=1\), also z.B. auch \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\)   ─   gerdware 30.03.2021 um 09:48

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
\(z,w \in \mathbb{C}\) bedeutet einfach nur,  dass \(z\) und \(w\) eine beliebige komplexe Zahl sein dürfen. Der Satz lässt sich hierbei einfach über die Potenzgesetze nachweisen. Da du mit der Menge der komplexen Zahlen anscheinend ein Verständniss Problem hast: in \(\mathbb{C}\) sind alle Linearkombinationen von \((1,0)\) und \((0,1)\). Das ist wichtig, da die komplexen Zahlen einen Körper bilden, der den Körper der reellen Zahlen erweitert, nämlich um \(\sqrt{-1}\). Bei einer Körperweiterung, hier \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\), adjungiert man immer zum kleineren Körper ein Element, hier \(i:=\sqrt{-1}\), das ganze sieht dann so aus \(\mathbb{C}:=\mathbb{R}(\sqrt{-1})=\{a\cdot 1 + b\cdot \sqrt{-1}:a,b \in \mathbb{R}\}\)
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.61K
 

Das war die perfekte Antwort, vielen Dank. C ist also R, aber noch mehr, nämlich dauz noch Wurzel -1.   ─   akimboslice 30.03.2021 um 10:59

Kommentar schreiben