Zu Deiner Überschrift erstmal: Es gibt keine "homogene Lösung", sondern bestenfalls eine "Lösung der homogenen Dgl", achte auf die Begriffe.
Für die partikuläre Lösung weiß ich nicht, was Du gerechnet hast. Üblicherweise setzt man dazu in die Original-Dgl ein. Ob diese (natürlich als ganzes, nicht nur eine Seite der Dgl!) mit 2 multipliziert ist oder nicht, ist egal. Führt beides auf die richtige Lösung.
Du scheinst irgendwas falsch gerechnet zu haben, wo genau weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht wo man da die Cramersche Regel braucht (unnötig aufwendig und damit fehleranfällig). Lade Deinen Rechenweg mal hoch (oben "Frage bearbeiten"), dann kann man das mal prüfen.
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Ansonsten: Bei den Integralen fehlt beide Male das dx, und beim Zusammenbauen von $y_p$ fehlt am Ende in der Klammer der Summand $\frac1{27}$. ─ mikn 27.01.2024 um 00:24