Inhomogene DGL, Multiplikation der homogenen Lösung führt zu "falschem" Ergebnis?

Erste Frage Aufrufe: 128     Aktiv: 27.01.2024 um 00:45
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Guten Tag, ich habe gerade folgendens Problem worauf ich mir keinen Reim machen kann: wenn ich die obenstehende DGL über folgenden Ansatz zu Lösen versuche bekomme ich am ende ein anderes Ergebnis für die allgemeine Lösung und die Probe passt auch nicht. Meine Vermutung ist, dass die Multiplikation mit dem Faktor 2 auch für den Störterm durchgeführt werden muss, sofern man die Cramersche Regel anwenden will.(VdK)
1.homogene DGl bilden und mit x2 multiplizieren (für einfacherers Rechnen)
2. Lambda 1 und 2 ermitteln = 1/2 und -5/2
3.partikuläre Lösung mittels Variation der Konstanten aufstellen, diese über die Cramersche Regel lösen (Determinante von W(x)) → c1=D1/Det , c2 =D2/Det
4. einsetzen und yallg=yh+yp bilden
Die so erlangte Lösung bietet aber für den Teil yp= (x²/6 -x/9)*e^x/2 kann es sein, dass man automatisch den Störterm ebenfalls mit 2 multiplizieren muss, falls ja wieso? Eigentlich dürfte das doch keinen Unterschied machen, da für Lambda immer die gleichen Werte erhält?

In der Richtigen lösung ist genau das doppelte im Bruch (x²/12 -x/18)*e^x/2 .

Anbei der Link zur Step-by-step Lösung: 
https://mathdf.com/dif/de/#expr=2y'2%2B4y'-5%2F2y%3Dx*e%5E(x%2F2)&func=y&arg=x

EDIT vom 26.01.2024 um 23:42:

Anbei mein Rechenweg, c1 und c2 habe ich in abgekürzter Form errechnet.
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Zu Deiner Überschrift erstmal: Es gibt keine "homogene Lösung", sondern bestenfalls eine "Lösung der homogenen Dgl", achte auf die Begriffe.
Für die partikuläre Lösung weiß ich nicht, was Du gerechnet hast. Üblicherweise setzt man dazu in die Original-Dgl ein. Ob diese (natürlich als ganzes, nicht nur eine Seite der Dgl!) mit 2 multipliziert ist oder nicht, ist egal. Führt beides auf die richtige Lösung.
Du scheinst irgendwas falsch gerechnet zu haben, wo genau weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht wo man da die Cramersche Regel braucht (unnötig aufwendig und damit fehleranfällig). Lade Deinen Rechenweg mal hoch (oben "Frage bearbeiten"), dann kann man das mal prüfen.

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Ok, der Fehler ist wie erwartet in Schritt 2. Ich nehme an, Ihr habt dieses Vorgehen in der Vorlesung so hergeleitet. Dabei wird aber vorausgesetzt (schau in den Unterlagen nach!), dass die Dgl in der Form $y''+....$ vorliegt. In dieser Form bekommt Dein Störfaktor aber noch den Faktor $\frac12$ drauf, und das drückt sich dann durch in $c_1$ und $c_2$. Also: Stets die Voraussetzungen für Methoden beachten, bevor man diese Methoden anwendet.
Ansonsten: Bei den Integralen fehlt beide Male das dx, und beim Zusammenbauen von $y_p$ fehlt am Ende in der Klammer der Summand $\frac1{27}$.   ─   mikn 27.01.2024 um 00:24
Super, vielen Dank für die Rückmeldung und die Anmerkungen! Jetzt wird mir klar wieso es nicht geklappt hat.   ─   jfriedek 27.01.2024 um 00:45

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