Konvergenz einer rekursiven Funktion?

Aufrufe: 82     Aktiv: 03.12.2021 um 14:54

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Hallo! Vielleicht könnt ihr mir ja etwas auf die Sprünge helfen :)

Wir haben folgende Aufgabe gegeben: 

Die Schrittfolge ist mir soweit klar, also ich weiß, was ich machen muss, wenn ich a_n habe. Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich auf a_n kommen soll. Vielleicht kann es mir ja einer von euch erklären?

Liebe Grüße!
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Student, Punkte: 14

 

Die Anleitung sagt ja, was zu tun ist. Das geht ohne Kenntnis der a_n.   ─   mikn 03.12.2021 um 11:24
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Hey,

du hast hier eine Verknüpfung von Funktionen, die dir das n-te Folgenelement beschreibt.

Du startest also, in dem du die 1 mit deiner Funktion abbildest. Das liefert dir dein Element \( a_n = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \). 

Für dein zweites Folgenelement bildest du nun diesen Wert erneut mit der Funktionsvorschrift ab. 

Ich denke daraus lässt sich dann entsprechend einfach die rekursive Bildungsvorschrift erkennen.

\( a_1 = \frac{1}{2} \)  und
\( a_{n+1} = \frac{1}{1+a_n} \)

Ich hoffe das hilft dir dann entsprechend weiter.

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.62K

 

Hi, also erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort!

Auf diese Werte bin ich tatsächlich auch gekommen, dacht aber, dass die irrelevant sind, weil die kleine Anleitung ja nach a_n verlangt.

Ich bin mir nun ehrlich gesagt etwas unsicher, wie ich die Differenz lösen soll. Also was soll ich für a_n einsetzen?
Setze ich den konkreten Wert für a_1 = 0,5 ein, erhalte ich ja auch ein konkretes Ergebnis (hier 1/6). Ich brauche ja aber etwas Allgemeines?

Ich hatte schon überlegt, a_n (sorry für die hässliche Schreibweise!!!) einfach stehen zu lassen, aber dann bekomme ich (1-a-a^2)/(1+a) raus (wobei a = a_n wegen zumindest etwas Übersichtlichkeit). Das konvergiert dann aber irgendwie gegen Unendlich. Das darf aber nicht sein, weil ich durch Zahlenbeispiele weiß, dass die Folge gegen 0,618-irgendwas konvergieren muss. Laut Definition soll der Abstand der Folgenglieder also immer mehr gegen 0 gehen.

Ich glaube, da liegt mein größtes Verständnisproblem. Vielleicht hast du ja noch einen Tipp für mich? 😅

Viele Grüße
Sophie
  ─   sturmlx 03.12.2021 um 13:18

Hey Sophie,

du vergisst hier, welche Werte \( a_n \) in den konkreten Fällen einnimmt. Dein \( a_1 = 1 \). Wenn du das entsprechend in deine Differenz einsetzt, bekommst du dort \( -0.5 \) als Differenz. Dein \( a_2 \) ist ja entsprechend \( 0,5 \). Wenn du das in die Differenz einsetzt, bekommst du heraus, dass die Differenz zwischen \( a_3 \) und \( a_2 \) \( \frac{1 - 0,5 - 0,25}{1 + 0,5} = \frac{0,25}{1,5} = \frac{1}{6} \) ist.

Anders ausgedrückt: \( a_3 = 0,5 + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \)

Auch das kannst du wieder entsprechend einsetzen und bekommst: \( a_4 - a_3 = -\frac{1}{15} \) und \( a_4 = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{15}) = \frac{3}{5} = 0,6 \)

Du hast also in deiner Differenz eine alternierende Folge, die offensichtlich gegen 0 konvergiert. Das Ganze musst du jetzt noch irgendwie formell zeigen. Ich wollte dir damit nur ein Gefühl geben, dass du das nochmal anders betrachten solltest.
  ─   el_stefano 03.12.2021 um 14:54

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