Mengenlehre - Vereinfachen von Ausdrücken

Aufrufe: 334     Aktiv: 07.09.2023 um 23:18
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Hallo zusammen,

ab diesem Schritt komme ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

\((A \cap B \cap C) \cup (\overline{\overline{A} \cup \overline{B} \cup C)} \cup (A \cap \overline{B} \cap C)\)
= \((A \cap B \cap C) \cup (\overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}} \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)\)
= \((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cup \overline{C}) \cap (A \cap \overline{B} \cap C)\)
= \(A \cap ((B \cap C) \cup (B \cup \overline{C}) \cap (\overline{B} \cap C))\)



=A=A∩(B∪C)

EDIT vom 07.09.2023 um 22:16:

\[ \begin{align*}
&(A \cap B \cap C) \cup (\overline{\overline{A} \cup \overline{B} \cup C)} \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \\
&= (A \cap B \cap C) \cup (\overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}} \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \\
&= (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \\
&= A \cap ((B \cap C) \cup (B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C))
\end{align*} \]

EDIT vom 07.09.2023 um 22:16:

Die obere Aufgabe hatte leider Fehler. 

Nun sollte die Vereinfachung bis dahin richtig sein. 

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Punkte: 14

 
Ich hab's nicht bis zum Ende durchgerechnet, aber in obigem sind zwei Fehler:
Ab Zeile 3 muss in der mittleren Klammer rechts ein $\cap$ stehen und vor der rechten Klammer ein $\cup$. Vielleicht kommst Du damit ja schon weiter.
   ─   mikn 06.09.2023 um 23:10
Hallo, danke für den Hinweis.
Ist aber leider nur ein Übertragungsfehler.

Ich habe mit einem Venn-Diagramm auch schon die Lösung gefunden. Komme aber leider ab diesem Schritt nicht mehr weiter...   ─   c.mathlightyear 07.09.2023 um 19:20
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Wenn Du die Übertragungsfehler nicht korrigieren willst, hat vermutlich kein Helfer Lust hier einzusteigen. Auch nennst Du nicht Dein Ergebnis.
Ich komme am Ende auf \(A \cap (B\cup C)\), ohne Gewähr.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K

 
Da hast du recht.
Mit dem Venn-Diagramm komme ich auch darauf.

Nach dem ausklammern komme ich aber nicht weiter, habe schon alle Klammern aufgelöst und hatte dann einen sehr langen Ausdruck.
Bist du bis zum ausklammern genau so vorgegangen wie ich?

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe und Geduld! ;)
   ─   c.mathlightyear 07.09.2023 um 22:20
$A\cap$ haben wir ja schonmal. Schauen wir also nur auf die große Klammer rechts. Aus den ersten beiden Klammern darin kann man $B$ ausklammern. Dann wird es einfacher, dann noch einmal Distributivgesetz, fertig.   ─   mikn 07.09.2023 um 22:24
Ich bleibe trotzdem hängen...

\(A \cap ( B \cap (C \cup \overline{C}) \cup(\overline{B} \cap C) \)
\(= A \cap ( B \cap (C \cup \overline{C}) \cup(\overline{B} \cap C) \)
\(= A \cap ( B \cap (G) \cup(\overline{B} \cap C) \)
\(= A \cap ( B \cup(\overline{B} \cap C) \)

und da brauch ich nicht weiter machen...   ─   c.mathlightyear 07.09.2023 um 23:00
Was heißt "brauch ich..."??? Ich hab Dir gesagt wie's weitergeht.   ─   mikn 07.09.2023 um 23:08
... "nicht weitermachen" im Sinne von "jetzt steht's da" oder "ich hänge"?
Im Grunde steht es tatsächlich da, denn $B\cup\bar{B}$ ist die "Allmenge/Grundmenge" $E$, für die stets $E\cap X=X$ gilt.
Also nochmals Distributivgesetz auf den "rechten Term" anwenden:
$A\cap(B\cup(\bar{B}\cap C))$
= $A\cap( (B\cup\bar{B})\cap (B\cup C))$
= $A\cap(B\cup C))$   ─   user77e28f 07.09.2023 um 23:14
oh :D
Ich habs! Vielen Dank!   ─   c.mathlightyear 07.09.2023 um 23:16

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