Beweis durch Induktion

Erste Frage Aufrufe: 303     Aktiv: 04.11.2022 um 13:20

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Hallo,

Ich hänge gerade bei folgendem Übungsbeispiel und vielleicht kann mir wer von euch helfen.

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ N + die Ungleichung 1n! ≤ n! nn



Induktionsanfang ist klar. Beim Induktionsschritt 1/((n+1)!)<=((n+1)!)/((n+1)^(n+1)) komm ich einfach nicht weiter, ich habe mal (n+1)! zu (n+1)*n! umgeformt, damit ich die Induktionsvoraussetzung einbauen kann, aber egal wie ich es weiter umforme, ich komme einfach nicht näher zur Lösung. 

LG

EDIT vom 31.10.2022 um 15:14:


Also so hätt ichs mal geschrieben. Stimmt das soweit? Muss ich also jetzt nur noch beweisen, dass der erste Nenner kleiner gleich der zweite ist?
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

zunächst einmal wäre es sicher sinnvoll du lädst deinen bisherigen Versuch gleich zur Frage mit hoch. Aus deiner Beschreibung heraus schlau zu werden wo dein Fehler liegt ist schwer zu sagen. Außerdem hast du vielleicht beim Aufschreiben der Induktion bereits einen Schönheitsfehler gemacht. Es gehören nämlich nicht nur der Anfang und der Induktionsschritt dazu, auch eine sauber formulierte Induktionsvoraussetzung sowie eine Induktionsbehauptung gehören dazu. Lade also deinen Versuch gerne hoch! Gehe dazu am besten unter deiner gestellten Frage auf "Frage bearbeiten" und lade ein Bild hoch. Dann könne. Wir die besser weiterhelfen.

Zu deiner Frage: Ja der Anfang stimmt, du ersetzt $(n+1)!$ im Nenner durch $n!\cdot (n+1)$ und verwendest für $\dfrac{1}{n!}$ deine Induktionsvoraussetzung. Danach versucher so zu erweitern, dass du im Zähler auf $(n+1)!$ kommst. Der Rest sollte sich dann einfach abschätzen lassen.

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Die Ind.Vor. ist falsch, es muss heißen "Gelte für ein $n\in N$ ... - wichtiger Unterschied!
Zur Abschätzung: Anfang gut. Aber im vorletzten Schritt hast Du einen Exponenten verloren und den letzten Schritt einfach mal so hingeschrieben. Das geht nicht, es muss schon begründet werden.
  ─   mikn 31.10.2022 um 15:25

Ok vielen Dank! Ich komme gerade aber trotzdem irgendwie ab da nicht weiter.   ─   usere974c5 31.10.2022 um 15:51

Ist auch nicht so einfach...   ─   mikn 31.10.2022 um 16:17

@fragy: wenn du in der einen Richtung nicht weiterkommst hilft es meist in einer Nebenrechnung es von der anderen Seite auszuprobieren wie man dahin kommt wo man von der anderen Seite aus stehen geblieben ist. Aber ja so einfach ist es nicht. Wenn ich heute Abend mal Ruhe hab schau ich mir das nochmal genauer an   ─   maqu 31.10.2022 um 16:40

Vielen Dank an euch schonmal! Ein wenig konntet ihr mir schon helfen. Auch, was das Aufschreiben betrifft. Das muss ich noch bisschen gewohnt werden.   ─   usere974c5 31.10.2022 um 16:48

Zu zeigen bliebe noch: $(n+1)^2n^n \ge (n+1)^{n+1}$. Wenn bekannt ist, dass $(1+\frac1n)^n\le 3$ für alle $n$ (die Folge geht ja streng mon. steigend gegen $e$), dann kann man das leicht zeigen.
Was einfacheres hab ich nicht anzubieten.
War kein Hinweis zu dieser Aufgabe gegeben? Es wäre nicht das erste Mal, dass Hinweise zu Aufgaben übersehen werden.
  ─   mikn 31.10.2022 um 16:56

Nein, haben leider keine Hinweise bekommen. Ich versuch das später dann nochmal.   ─   usere974c5 31.10.2022 um 17:19

Ist das (1+1/n)^n eine bernoullische Ungleichung? Bzw. könnte man auch annehmen, dass es kleiner gleich 2 ist; weil wenn ich 1 einsetze ist es ja maximal 2? Und wie komme ich darauf, dass x gleich 1/n ist (falls es eine bernoullische Ungleichung ist.)   ─   love 02.11.2022 um 21:32

Dann setz mal $n=2$ ein und es ist schon größer als 2.   ─   cauchy 02.11.2022 um 21:39

Ah ja sorry, Denkfehler, aber ist es eine bernoullische Ungleichung oder woher greif ich diese Voraussetzung, weil das steht bei uns in der Aufgabe nirgends.   ─   love 02.11.2022 um 21:46

Ich hab doch gesagt, WENN bekannt ist.... . Und eine Ungleichung erkennt man am $\le$-Zeichen o.ä., Terme sind keine Ungleichungen. Dass $(1+\frac1n)^n\le 3$ ist, ist nicht einfach zu zeigen. Wenn einer von uns Helfern eine Idee zur fehlenden Ungleichung für die Induktion hätte, würde Ihr das als erste erfahren.   ─   mikn 02.11.2022 um 22:02

Ok danke ☺️   ─   love 02.11.2022 um 22:07

@love mit mikn seiner Abschätzung kommt man ans Ziel aber ansonsten habe ich bis jetzt auch keine andere Möglichkeit gefunden @mikn hat man hier nicht eine starke Ordnung? Es müsste doch für alle $n\in \mathbb{N}$ gelten: $2\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n <3$   ─   maqu 02.11.2022 um 23:25

@maqu: Ja, klar, das gilt (die Folge konvergiert mon. steigend gegen $e$), aber wenn es nicht in der Vorlesung dran war, nützt es ja nichts.   ─   mikn 02.11.2022 um 23:27

@mikn aber selbst wenn es noch nicht behandelt wurde, so könnte man den Beweis dieser Abschätzung doch vielleicht "einfach" im Induktionsschritt zeigen, oder? @love ist denn Binomischer Lehrsatz und geometrische Reihe bereits bekannt?   ─   maqu 02.11.2022 um 23:53

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Es geht mit bin. Lehrsatz, sogar ohne geom. Reihe, weil man nur $\le n+1$ und nicht $\le 3$ braucht. Jeder Summand ist $\le 1$.   ─   mikn 03.11.2022 um 00:02

Wenn ihr solche Schwierigkeiten habt, zweifel ich gerade ein wenig an meiner Antwort... Die Abschätzung, die ich gemacht habe, fand ich jetzt nicht schwierig.   ─   cauchy 03.11.2022 um 00:05

@mikn stimmt   ─   maqu 03.11.2022 um 00:06

@love um dem ganzen "auf dem Kopf" abgeschätze und den Nebenrechnungen aus dem Weg zu gehen, schreibe doch deine zu beweisende Aussage um, also zeige: $n^n\leq (n!)^2$. Das sorgt bei mir für einen flüssigeren Induktionsschritt. Versuche es mal und sobald du den Faktor $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ hast, benutzt du den binomischen Lehrsatz und schätzt wie mikn das in seinem Kommentar beschrieben hat ab. Der bin. Lehrsatz ist doch sicherlicher bekannt und darf verwendet werden, oder?   ─   maqu 03.11.2022 um 00:23

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Ausgehend von $\frac{1}{n+1}\frac{n!}{n^n}$:

Erweitere den ersten Bruch mit $(n+1)^n$ und ziehe einen Faktor $(n+1)$ im Zähler für die "neue" Fakultät raus. Dann kann man ein bisschen umsortieren und muss zeigen, dass $\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}\leq 1$ ist. Das geht aber sehr einfach, wenn man weiß, dass $n!\leq n^n$ gilt (ansonsten lässt sich das per vollst. Induktion sehr leicht zeigen).
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Nur mit diesem Erweitern/Abschätzen komme ich nicht auf die gewünschte rechte Seite mit Vorfaktor. Nur im Zähler. Wie kommt man denn im Nenner auf die $(n+1)^{n+1}$?   ─   mikn 03.11.2022 um 00:10

Ach... da ist der Denkfehler... Und ich hab mich schon gewundert, wieso das so einfach ist. :D   ─   cauchy 03.11.2022 um 00:11

@cauchy so wie ich deine Abschätzung verstehe komm ich auf Vorfaktor mal $\dfrac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ ... ich möchte doch aber auf Vorfaktor mal $\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$ kommen ... oder hab ich da gerade einen Denkfehler?   ─   maqu 03.11.2022 um 00:11

Ja, ich hab übersehen, dass wir ja $(n+1)^{n+1}$ im Nenner brauchen... Ich versuche es gerade zu reparieren...   ─   cauchy 03.11.2022 um 00:15

@cauchy ja entschuldige wollte nicht Nachtreten, als ich meinen Kommentar abgeschickt hatte habe ich gesehen das ihr beide das nur Sekunden vorher aufgeklärt hattet :)   ─   maqu 03.11.2022 um 00:18

Ist korrigiert. Sollte jetzt passen und geht ganz ohne $\mathrm{e}$ und bin. Lehrsatz.   ─   cauchy 03.11.2022 um 00:35

@cauchy ich kann jetzt leider nicht erkennen wo $\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} \leq 1$ "leicht" zu zeigen gehen soll, vielleicht brauche ich aber auch nur ne Mütze voll schlaf :D ... aber ich glaube fast der bin. Lehrsatz ist eher bekannt als $n!\leq n^n$.   ─   maqu 03.11.2022 um 00:53

Bis zum Punkt $\frac{(n+1)^{n-1}}{n!} \stackrel{!}{\le}1$ waren wir vorher auch schon (erste Antwort mittendrin).
Ich sehe auch nicht, wo das leicht zu zeigen ist (auch nicht per Ind.). Ich hatte all das auch schon probiert.
$n!\le n^n$ ist sehr leicht einzusehen, aber ich sehe nicht, was das hier nutzt.
  ─   mikn 04.11.2022 um 13:20

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