Verständnisfrage Vielfachheit von Nullstellen

Aufrufe: 121     Aktiv: 17.11.2022 um 13:16

0
Ich hab das jetzt so verstanden, dass gefragt ist:
An wie vielen verschieden stellen kann man eine bestimmte Konstante einsetzen, damit es =0 ist. 
Zum Beispiel kann man bei (x-1)^4 an 4 stellen 1 einsetzen, weil es ja (x-1)(x-1)(x-1)(x-1) ist. Also ist bei -1 eine vierfache Nullstelle.
Ist das richtig?
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 20

 

1
Bei \( +1 \) ist dann die vierfache Nullstelle.   ─   scotchwhisky 17.11.2022 um 07:05
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Salopp gesprochen kann man das so verstehen, mathematisch ist das aber sehr schlecht ausgedrückt. Definitionsgemäß hat eine Nullstelle $x_0$ die Vielfachheit $k$, wenn auch die ersten $k-1$ Ableitungen an der Stelle $x_0$ gleich 0 sind. Das ist aber auch gleichbedeutend damit, dass die Funktion $k$ mal den Linearfaktor $(x-x_0)$ besitzt, man also $f(x)=(x-x_0)^kg(x)$ für eine geeignete Funktion $g$ schreiben kann. Und das ist genau das, was du letztendlich in deinem Beispiel beschreibst.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 26.62K

 

Danke für die Antwort. Mein Prof hatte nur die Formel p(z) = (z − z0)^k q(z) mit q(z0) ungleich null und genannt und ich hatte das nicht wirklich verstanden. Mit den Ableitungen ergibt es für mich deutlich mehr Sinn.   ─   waswerte 17.11.2022 um 13:02

Das mit den Ableitungen ist die "offizielle" mathematische Definition. Wenn du aber dein $p(z)$ ableitest, erhältst du aufgrund der Produktregel ja wieder einen Faktor $(z-z_0)^{k-1}$ in der Ableitung, weshalb diese für $z=z_0$ ebenfalls 0 ist. Das passt also. :)   ─   cauchy 17.11.2022 um 13:10

Nach deiner Erklärung hab ich den Sinn der Formel dann auch verstanden. Nur vorher nicht wirklich. Nochmal Danke :)   ─   waswerte 17.11.2022 um 13:15

Sehr gerne. Man freut sich immer wieder, wenn Leute hier etwas mitnehmen konnten. :)   ─   cauchy 17.11.2022 um 13:16

Kommentar schreiben