Es geht unter anderem um einen Unterraum eines Vektorraums

Aufrufe: 758     Aktiv: 09.11.2021 um 08:18
0
Sei V der Vektorraum M22(K) über einem Körper K. Geben Sie (mit Begründung) ein Beispiel für
1. einen Unterraum U von V der Dimension 2 und drei Matrizen A1, A2, A3 eU, sodass A1, A2 und A1, A3 und A2, A3 Basen von U sind.

2. eine Basis A1, A2, A3, A4 von V und eine Matrix X in V, sodass X, A2, A3, A4 und A1, X, A3, A4 und A1, A2, X, A4 und A1, A2, A3, X Basen von V sind.

3. zwei Unterräume U1, U2 von V der Dimension 2, sodass U1 + U2 die Dimension 3 hat.

4. eine Basis von V , die nicht die Standardbasis ist.

5. eine lineare Abbildung f : V nach V mit Rang (f) = 3.
Ich habe durchhaus noch Schwierigkeiten sowohl Inhaltlich als auch mit dem Formalismus. Wie gehe ich hier jetzt am besten und am einfachsten Schritt für Schritt vor.
Diese Frage melden
gefragt

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 139

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Bei Aufgabe 1 wählst du \(U\) als den Spann zweier linear unabhängiger Matrizen (möglichst einfach,  z.B. aus der Standardbasis). Die Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) lassen sich dann durch einfaches skalieren wählen. Bei Aufgabe zwei wähle eine beliebige Basis \(B=(A_1,A_2,A_3,A_4)\) und setze \(X=A_1+A_2+A_3+A_4\). Bei Aufgabe 3 wähle drei linear unabhängige Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) und setze beispielsweise \(U_1\) als Spann von \(A_1,A_2\) und \(U_2\) als Spann von \(A_2,A_3\). Bei Aufgabe 4 kannst du einfach die Standardbasis skalieren. Bei Aufgabe 5 schau mal wie du ganz einfach einen eindimensionalen Kern bekommst.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 10.87K

 
Mir ist der Begriff Spann nicht klar.   ─   atideva 08.11.2021 um 22:22
Vielleicht wurde er bei euch auch lineare Hülle oder so genannt. Der Spann von Vektoren \((v_i)_{i\in I}\) ist einfach nur die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren aus der Familie   ─   mathejean 09.11.2021 um 08:18

Kommentar schreiben