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Sei V der Vektorraum M22(K) über einem Körper K. Geben Sie (mit Begründung) ein Beispiel für
1. einen Unterraum U von V der Dimension 2 und drei Matrizen A1, A2, A3 eU, sodass A1, A2 und A1, A3 und A2, A3 Basen von U sind.

2. eine Basis A1, A2, A3, A4 von V und eine Matrix X in V, sodass X, A2, A3, A4 und A1, X, A3, A4 und A1, A2, X, A4 und A1, A2, A3, X Basen von V sind.

3. zwei Unterräume U1, U2 von V der Dimension 2, sodass U1 + U2 die Dimension 3 hat.

4. eine Basis von V , die nicht die Standardbasis ist.

5. eine lineare Abbildung f : V nach V mit Rang (f) = 3.
Ich habe durchhaus noch Schwierigkeiten sowohl Inhaltlich als auch mit dem Formalismus. Wie gehe ich hier jetzt am besten und am einfachsten Schritt für Schritt vor.
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1 Antwort
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Bei Aufgabe 1 wählst du \(U\) als den Spann zweier linear unabhängiger Matrizen (möglichst einfach,  z.B. aus der Standardbasis). Die Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) lassen sich dann durch einfaches skalieren wählen. Bei Aufgabe zwei wähle eine beliebige Basis \(B=(A_1,A_2,A_3,A_4)\) und setze \(X=A_1+A_2+A_3+A_4\). Bei Aufgabe 3 wähle drei linear unabhängige Matrizen \(A_1,A_2,A_3\) und setze beispielsweise \(U_1\) als Spann von \(A_1,A_2\) und \(U_2\) als Spann von \(A_2,A_3\). Bei Aufgabe 4 kannst du einfach die Standardbasis skalieren. Bei Aufgabe 5 schau mal wie du ganz einfach einen eindimensionalen Kern bekommst.
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Mir ist der Begriff Spann nicht klar.   ─   atideva 08.11.2021 um 22:22

Vielleicht wurde er bei euch auch lineare Hülle oder so genannt. Der Spann von Vektoren \((v_i)_{i\in I}\) ist einfach nur die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren aus der Familie   ─   mathejean 09.11.2021 um 08:18

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