Lösung eines LGS mit 2 Parametern

Aufrufe: 121     Aktiv: 06.08.2021 um 18:31

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Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der das zugehörige inhomogene LGS 2 Parameter enthält. Da die Musterlösung verschieden ist hoffe ich, dass mir jemand sagen kann ob meine Ausführung korrekt ist.
Von der vorletzten zu letzten Matrix habe ich sozusagen 2 Schritte gemacht: Erst in der vierten Gleichung 1 abgezogen, um \( \frac{\alpha}{2} \vert \beta \) zu erhalten. Danach habe ich die Zeilenoperationen auf erste, zweite und dritte Zeile angewandt.

Ich hoffe jemand kann die Lösung beurteilen und Kritikpunkte äußern.

Freundliche Grüße

Yocaaza
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Zunächst solltest du auf deine Schreibweise achten. Ausdrücke wie "\(I + III\)" beziehen sich immer auf die Zeilen der aktuellen Matrix. Beim zweiten Schritt hast du das nicht beachtet und beispielsweise "\( I + III \)" geschrieben, obwohl du "\( I+\frac{1}{2}III\)" gerechnet hast.

Wahrscheinlich hast du dich davon sogar verwirren lassen, denn bei der dritten Matrix in der letzten Zeilen steht \( 1+\beta \), obwohl dort \( 1+\frac{\beta}{2} \) stehen müsste.

Und dann machst du einen relativ schwerwiegenden Denkfehler. Du darfst nicht einfach irgendwelche Konstanten von einer Zeile abziehen. Das ist keine erlaubte Umformung. Aus der Zeile \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1+\frac{\alpha}{2} & \vert & 1+\beta \end{pmatrix} \) (die ja nach obiger Bemerkung sowieso fehlerhaft ist), kannst du nicht einfach \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha}{2} & \vert & \beta \end{pmatrix} \) machen. Und das lässt sich auch ganz leicht einsehen, denn wenn \( (x_1, x_2, x_3, x_4)^T \) ein Lösungsvektor wäre, dann bedeutet das ja, dass \( (1+\frac{\alpha}{2})x_4 = 1+\beta \) ist. Daraus folgt natürlich im Allgemeinen nicht, dass auch \( \frac{\alpha}{2}x_4 = \beta \) ist.

Alles Weitere wird dann natürlich falsch. Und wenn du für deinen Lösungsvektor die Probe machst, dann siehst du auch recht schnell, dass das nicht passt.

Dein allgemeines Vorgehen sieht aber gut aus. Wenn du den Rechenfehler korrigierst und die falsche Umformung weglässt, dann kommst du bestimmt zur richtigen Lösung.
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Okay, ich habe meinen Fehler verstanden. Ich habe nun \(1+\frac{\alpha}{2}\) als Koeffizienten für \(x_4\). Gehe ich dann weiter vor, indem ich die untere Gleichung nach x4 auflöse und weiter in der letzten Spalte Nullen erzeuge, um eine eindeutige Lösung zu erhalten? Das wäre jetzt das Beste, was mir einfällt...   ─   yocaaza 06.08.2021 um 18:11

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Warum machst Du nicht einfach einen sauberen Gauß-Algorithmus, dann bist Du in zwei Schritten auf Dreiecksform und löst von unten nach oben auf.
"Sauber" heißt, erlaubt sind nur Schritte der Form $z_i:=z_i+\lambda\cdot z_j$ mit $j<i$ und Zeilenvertauschungen (falls nötig, hier nicht).
Dann lauten die Schritte:
$z_3:=z_3-z_2$ und $z_4:=z_4+\frac12z_3$. Auflösen von unten nach oben (mit etwas Bruchrechnung) führt in wenigen Minuten auf:
$x_4=\frac{2+\beta}{2+\alpha}, x_3=\frac{\beta-\alpha}{2+\alpha}, x_2=-x_3, x_1=x_3$, fertig.
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