Zunächst solltest du auf deine Schreibweise achten. Ausdrücke wie "\(I + III\)" beziehen sich immer auf die Zeilen der aktuellen Matrix. Beim zweiten Schritt hast du das nicht beachtet und beispielsweise "\( I + III \)" geschrieben, obwohl du "\( I+\frac{1}{2}III\)" gerechnet hast.

Wahrscheinlich hast du dich davon sogar verwirren lassen, denn bei der dritten Matrix in der letzten Zeilen steht \( 1+\beta \), obwohl dort \( 1+\frac{\beta}{2} \) stehen müsste.

Und dann machst du einen relativ schwerwiegenden Denkfehler. Du darfst nicht einfach irgendwelche Konstanten von einer Zeile abziehen. Das ist keine erlaubte Umformung. Aus der Zeile \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1+\frac{\alpha}{2} & \vert & 1+\beta \end{pmatrix} \) (die ja nach obiger Bemerkung sowieso fehlerhaft ist), kannst du nicht einfach \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha}{2} & \vert & \beta \end{pmatrix} \) machen. Und das lässt sich auch ganz leicht einsehen, denn wenn \( (x_1, x_2, x_3, x_4)^T \) ein Lösungsvektor wäre, dann bedeutet das ja, dass \( (1+\frac{\alpha}{2})x_4 = 1+\beta \) ist. Daraus folgt natürlich im Allgemeinen nicht, dass auch \( \frac{\alpha}{2}x_4 = \beta \) ist.

Alles Weitere wird dann natürlich falsch. Und wenn du für deinen Lösungsvektor die Probe machst, dann siehst du auch recht schnell, dass das nicht passt.

Dein allgemeines Vorgehen sieht aber gut aus. Wenn du den Rechenfehler korrigierst und die falsche Umformung weglässt, dann kommst du bestimmt zur richtigen Lösung.

Warum machst Du nicht einfach einen sauberen Gauß-Algorithmus, dann bist Du in zwei Schritten auf Dreiecksform und löst von unten nach oben auf.
"Sauber" heißt, erlaubt sind nur Schritte der Form $z_i:=z_i+\lambda\cdot z_j$ mit $j<i$ und Zeilenvertauschungen (falls nötig, hier nicht).
Dann lauten die Schritte:
$z_3:=z_3-z_2$ und $z_4:=z_4+\frac12z_3$. Auflösen von unten nach oben (mit etwas Bruchrechnung) führt in wenigen Minuten auf:
$x_4=\frac{2+\beta}{2+\alpha}, x_3=\frac{\beta-\alpha}{2+\alpha}, x_2=-x_3, x_1=x_3$, fertig.