Die erste Umschreibung ist etwas trickreich:

Zunächst: \(\sum\limits_{k=2}^\infty \sum\limits_{j=1}^{k-1} a_{jk}=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{j=1}^{k-1} a_{jk}\), es ändert sich nichts, weil für \(k=1\) die zweite Summe 0 ist (leere Summe).

Nun betrachten wir eine \(\infty\times\infty\) links-untere Dreiecksmatrix \(A\) mit Elementen \(a_{jk}\).

Die obige Summe bedeutet: Wir durchlaufen alle Spalten k=1,... und addieren alle Elemente in der j-ten Zeile auf bis hin zur Diagonalen, aber ohne das Diagonalelement selbst (denn j=1,...,k-1) ("Zeilensumme").

 Die Summe enthält also alle Matrixelemente ohne die Diagonalelemente (links-untere Dreiecksmatrix).

Auf dieselbe Summe kommt man aber, wenn man die Spalten durchläuft und alle Elemente unterhalb der Diagonalen addiert ("Spaltensumme"), denn auch so werden alle Elemente aufaddiert, nur in anderer Reihenfolge.

Also: erste Spalte j=1, Spaltensumme: k=2,3, ... über a_{jk}.

zweite Spalte: j=2, Spaltensumme k=3,4....

Spalte j: Spaltensumme: k=j+1,....

Damit ist \(\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{j=1}^{k-1} a_{jk} = \sum\limits_{j=1}^\infty \sum\limits_{k=j+1}^\infty a_{jk}\)

Deine zweite gefragte Umformung ist dagegen einfach eine Indexverschiebung (siehe auch Dein Lösungsblatt zu b)), mit \(m=k-j-1\)

\(\sum\limits_{k=j+1}^\infty 0.5^k = \sum\limits_{m=0}^\infty 0.5^{m+j+1} =0.5^{j+1}\sum\limits_{m=0}^\infty 0.5^m\)