Abschätzung Normen und Beträge

Aufrufe: 401     Aktiv: 09.10.2022 um 20:00

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Hey,

ich habe Schwierigkeiten folgenden Abschätzung nachzuvollziehen. Die Funktion $h$ ist dabei eine stetige differenzierbare Abbidung des $\mathbb{R}^n$ in sich selbst.

Angenommen zwei Punkte $x,\hat{x}$ haben dasselbe Bild, dann ist
$$h(x,t)=h(\hat{x},t) \Leftrightarrow x+tg(x)=\hat{x}+tg(\hat{x})$$
und somit 
$$x-\hat{x}=t(g(x)-g(\hat{x}).$$
Betrachtet man dies komponentenweise, so folgt
$$x_{j}-\hat{x}_j=t\left((g_j(x_1,\dots,x_n)-g_j(\hat{x}_!,\dots,x_n)\right).$$
Die Differenz der rechten Seite, lässt sich mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung in folgende Form umschreiben
$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial g_j}{\partial x_i}(\xi)(x_i-\hat{x}_i)$$
wobei die $\xi$ ein Punkt auf der Verbinungsstrecke zwischen $x$ und $\hat{x}$ ist. 
Ist $C$ eine Schrank der Beträge der Ableitung $\frac{\partial g_j}{\partial x_i}(\xi)(x_i-\hat{x}_i)$ in $B$ und beachtet man 
$$|{x_i-\hat{x}_i}|\leq ||{x-\hat{x}}||,$$ so folgt
$$|{x_j-\hat{x}_j}| \leq tnC ||{x-\hat{x}}||.$$
 
Damit ergibt sich durch 
$$\sum_{j=1}^n |x_j-\hat{x}_j|^2=||{x-\hat{x}}||^2$$
die Abschätzung
$$||x-\hat{x}|| \leq tn \sqrt{n} C  ||x-\hat{x}||$$

Ich tue mich schwer womit ich überhaupt starten soll. So etwa?

$$||x-\hat{x}||=\sqrt{\sum_{j=1}^n |x_j-\hat{x}_j|^2}  \leq \sqrt{\sum_{j=1}^n  (tnC||{x-\hat{x}}||)^2} $$

Kann ich das unter der Wurzel so abschätzen? Die Summe ist dann einfach $n$ und somit habe ich 

$$\sqrt{n t^2 n^2 C^2 ||x-\hat{x}||^2}=tn \sqrt{n} C  ||x-\hat{x}||$$

geht das so?

Ich danke euch!
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Die Abschätzung geht, weil die Wurzelfunktion monoton steigend ist (überlege Dir genau, was die Abschätzung mit der Monotonie zu tun hat, das kommt öfter mal vor.
Und der letzte Schritt hat nichts mit Abschätzungen, Beträgen, Normen oder höh. Mathe zu tun. Das ist schlicht Schulmathematik - Rechnen mit Wurzeln. Also $\sqrt{a\cdot b}=....$, wobei zu beachten ist $\sqrt{a^2}=|a|$.
Und die Summe ist auch nicht einfach $n$, sondern $n\cdot$ der konstante Summand.
Sag bitte in Deiner Frage genau, welcher Schritt Probleme macht.
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Tatsächlich habe ich die fehlenden Schritte erst ergänzen können, als ich die Frage aufgeschrieben habe. Ich danke dir, wenngleich ich nicht weiß, was so Aussagen wie:,, Das ist schlicht Schulmathematik" für einen Mehrwert bieten sollen.   ─   walterfrosch 09.10.2022 um 18:37

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