Primfaktorzerlegung mit Variablen

Aufrufe: 238     Aktiv: 23.10.2023 um 19:40

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Moin,

Ich soll zeigen, dass die Zahl 4n-1 mindestens einen Primfaktor p hat, der als p=4m-1 geschrieben werden kann.

Ich weiß nicht so genau wie ich das zeigen kann, hat vlt. Jemand Anreize?

Ich dachte mir bis jetzt, dass ja theoretisch 4n-1 = x × (4m-1) gelten muss

Und alle drei Zahlen ungerade sind/ bzw. sein müssen.

Idee/ Frage: Wenn die ungerade sind, kann x dann als 4y+- 1 geschrieben werden?


Danke
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1 Antwort
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Jede ungerade Zahl ist entweder von der Form $4n-1$ oder $4n+1$. Insbesondere besitzt die Zahl nicht die Zahl 2 als Primfaktor. Jetzt nimm an, dass es einen solchen Primfaktor nicht gibt. Wie sehen dann alle Primfaktoren der Zahl aus? Was passiert, wenn man diese Faktoren multipliziert und warum liefert das einen Widerspruch?
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Oke.

Alsooo wenn 4m-1 kein Primfaktor von 4n-1 wäre, müsste es dann ja 4m-3 bzw. 4m+1 sein.

Wenn man die jetzt multipliziert also
(4m-3)(4m-3) dann hatt man 16m²-24m+9 also 4(4m²-6m)+9

Bei dem was die Aufgabe sagt, was ein Primfaktor wäre. Hätte man (4m-1)×(4m-1) dann erhält man 16m²-8m+1
Dass könnte man ja als 4(4m²-2m)+1 schreiben

Ich verstehe aber nicht ganz, wieso das zweite (mit 4m-1) am Ende dann ein + hat, dann wäre es doch kein Primfaktor von 4n-1, oder?

Weil 4n-1 ≠ 4n+1

Übersehe ich da was, oder ist das falsch?
  ─   user0f9fbd 23.10.2023 um 14:29

Das $4m-3$ brauchst du nicht. Es wurde ja bereits gesagt, dass jede ungerade Zahl die Form $4m-1$ oder $4m+1$ hat. Da muss man dann keine weiteren Darstellungen betrachten. Deine Idee ist vom Ansatz richtig, aber nicht gut ausgeführt. Du übersiehst, dass du genau mit dieser Rechnung gerade den Widerspruch erzeugt hast, weil die Zahl ja gerade die Form $4n-1$ hat und nicht $4n+1$. Deshalb muss ein Primfaktor von der Form $4m-1$ sein. Versuche den Beweis nochmal formal sauber aufzuschreiben.   ─   cauchy 23.10.2023 um 19:40

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