Mengenoperationen im Spann

Aufrufe: 64     Aktiv: 14.06.2022 um 18:23

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Hallo ihr Lieben, ich soll in einer Aufgabe ein paar Mengenoperationen im Spann beweisen oder wiederlegen, auszugsweise nehme ich mal diese beiden hier:
$(1)  \langle A \cap B\rangle=\langle A\rangle \cap\langle B\rangle $
$(2)  \langle A \cup B\rangle=  \langle A\rangle +\langle B\rangle$

Kurz zur Definition des Spannes nach unserer VL:
Sei $V$ ein K-Vektorraum und $A \subset V$, dann ist: $\langle A \rangle:= \{\sum \limits_{i=1}^{r}α_i\cdot a_i | r \in \mathbb{N}, α_i \in K, a_i \in A \forall i=1,...,r \}$

Zu 2): Ich habe mal ein wenig in meiner Begleitliteratur geblättert und da wird der Beweis für die Hinrichtung wie folgt geführt:
Sei $x \in \langle A \cup B\rangle$, dann ist x von der Form $x=α_1a_1+α_2a_2+...+α_na_n+ β_1b_1+...+β_kb_k = \sum \limits_{i=1}^{n}α_i\cdot a_i+\sum \limits_{i=1}^{k}β_i\cdot b_i \in \langle A\rangle +\langle B\rangle$

Die Rückrichtung ist mir erstmal egal, hier meine Frage dazu:
Warum ist $x$ von der obrigen Form und nicht z.B. $x= \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_i\cdot v_i$ für $v_i \in A \cup B$ ?
Wie kann ich $\langle A \cap B\rangle$ als Mengenform meiner Definition vom Spann darstellen?

Wäre toll, wenn mir jemand bei diesen Verständnisfragen weiterhelfen könnte, damit ich diese und die anderen Teilaufgaben bearbeiten kann.
LG
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Du hast recht, nach Definition von Spann ist erstmal \(x=\sum_{k=1}^n \lambda_kv_k\) mit \(v_k \in A \cup B\). Wegen \(v_k \in A \cup B\) gilt aber \(v_k=\mu_ka_k+\eta_kb_k\) mit \(a_k\in A\) und \(b_k \in B\), setze einfach \(\eta_k=0\) und \(a_k=v_k\), falls \(v_k \in A\), etc.. Nach ausmultiplizieren und Symbolmanipulation kommt man auf die Form in der Lösung.
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Danke erstmal für deine Antwort. Für das Verständnis wäre es mir wichtig zu wissen, warum ich, wenn $v_k \in A \cup B$ ist, $v_k$ schreiben kann als $v_k=μ_k a_k + η_k b_k$. Konkret: Woher kommt die Rechenoperation "+"?
Wie sieht das ganze für \(⟨A∩B⟩ \) aus, kann ich da wie oben auch ein $x$ von der Form $x=...$ wählen?
  ─   emil8567 14.06.2022 um 13:01

Nach Definition folgt aus \(v_k \in A \cup B\), dass \(v_k\in A\) oder \(v_k \in B\). Ist nun \(v_k \in A\), setze \(\mu_k=1, a_k=v_k, \eta_k=0,b_k=0\). Ist \(v_k \in B\), setze \(\mu_k=0,a_k=0,\eta_k=1,b_k=v_k\). Fertig!

Aus \(x \in \langle A \cap B \rangle\) folgt \(x=\sum_{k=1}^n \lambda_kv_k\) mit \(v_k \in A \cap B\), es ist also \(v_k \in A\) und \(v_k \in B\),...
  ─   mathejean 14.06.2022 um 13:22

Also gibt es für den $⟨A \cup B⟩$ keine großartig andere Darstellung mit einer Rechenoperation. Gut, ich denke ich kann damit weitermachen, dank dir .D   ─   emil8567 14.06.2022 um 14:13

Es ist sogar \(\langle A \cup B \rangle =A+B\), andere Worten: \(A+B\) ist kleinster UVR, der \(A\) und \(B\) enthält   ─   mathejean 14.06.2022 um 18:23

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