Hallo ihr Lieben, ich soll in einer Aufgabe ein paar Mengenoperationen im Spann beweisen oder wiederlegen, auszugsweise nehme ich mal diese beiden hier:
$(1)  \langle A \cap B\rangle=\langle A\rangle \cap\langle B\rangle $
$(2)  \langle A \cup B\rangle=  \langle A\rangle +\langle B\rangle$

Kurz zur Definition des Spannes nach unserer VL:
Sei $V$ ein K-Vektorraum und $A \subset V$, dann ist: $\langle A \rangle:= \{\sum \limits_{i=1}^{r}α_i\cdot a_i | r \in \mathbb{N}, α_i \in K, a_i \in A \forall i=1,...,r \}$

Zu 2): Ich habe mal ein wenig in meiner Begleitliteratur geblättert und da wird der Beweis für die Hinrichtung wie folgt geführt:
Sei $x \in \langle A \cup B\rangle$, dann ist x von der Form $x=α_1a_1+α_2a_2+...+α_na_n+ β_1b_1+...+β_kb_k = \sum \limits_{i=1}^{n}α_i\cdot a_i+\sum \limits_{i=1}^{k}β_i\cdot b_i \in \langle A\rangle +\langle B\rangle$

Die Rückrichtung ist mir erstmal egal, hier meine Frage dazu:
Warum ist $x$ von der obrigen Form und nicht z.B. $x= \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_i\cdot v_i$ für $v_i \in A \cup B$ ?
Wie kann ich $\langle A \cap B\rangle$ als Mengenform meiner Definition vom Spann darstellen?

Wäre toll, wenn mir jemand bei diesen Verständnisfragen weiterhelfen könnte, damit ich diese und die anderen Teilaufgaben bearbeiten kann.
LG