Komische Notation - lineare Abbildungen

Aufrufe: 42     Aktiv: 10.06.2021 um 18:27

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Was ist der erste Schritt ? In der Vorlesung hab ich nie diesen Pfeil zwischen zwei Vektoren gesehen

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1 Antwort
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Meinst du den Pfeil $\mapsto$? Der steht für "wird abgebildet auf", also in deiner Aufgabe wird der Vektor \((x,y,z)\) abgebildet auf das entsprechende Skalarprodukt, oder anders ausgedrückt, man definiert $$\varphi_1\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right):=\left\langle\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right\rangle$$ Das ist Standardnotation bei Funktionen, nicht nur in der Linearen Algebra, auch in der Analysis definierst du so, z.B. durch \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto x^2\) deine Funktionen.

Kommst du dann mit der Aufgabe zurecht? Weißt du, wie man Funktionen auf Linearität, Injektivität und Surjektivität untersucht? Ansonsten kannst du gern nochmal nachfragen.
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leider keine ahnung. Alles in der Vorlesung ist so kacke erklärt. Ich blick garnichts.   ─   brunochemie 08.06.2021 um 15:01

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Ok. Beginnen wir mit der Linearität, dafür müssen zwei Bedingungen gelten. Einmal muss die Funktion mit Summen verträglich sein, d.h. für alle Vektoren muss gelten $$\varphi_1\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\right)=\varphi_1\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)+\varphi_1\left(\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\right)$$ und die Funktion muss auch Verträglich mit Skalarmultiplikation sein, d.h. wenn noch zusätzlich \(\lambda\in\mathbb R\) ist, muss auch noch $$\varphi_1\left(\lambda\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)=\lambda\varphi_1\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)$$ gelten. Um zu überprüfen, ob diese Eigenschaften gelten, setze jeweils links und rechts die Definition von $\varphi_1$ ein und schaue, ob das gleiche rauskommt. Wenn du dann vermutest, dass die zwei Ausdrücke nicht gleich sind, dann finde ein Beispiel von Zahlen, wo die linke und rechte Seite verschieden sind.

Injektivität bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Eingaben auf das selbe Ergebnis geschickt werden. Für lineare Abbildungen ist das gleichbedeutend damit, dass kein Vektor außer $0$ auf die $0$ abgebildet wird. Kannst du einen nichttrivialen Vektor \(v\) finden mit \(\varphi_1(v)=0\)?

Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge getroffen wird. Versuche, zu jedem \(a\in\mathbb R\) ein $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ zu finden mit \(\varphi\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)=a\), dann ist die Funktion surjektiv. Geht das nicht, dann finde ein \(a\) und beweise, dass es mit diesem \(a\) nicht funktioniert.
  ─   stal 08.06.2021 um 15:17

okay vielen Dank stal. hammer. Sorry für die späte Antwort   ─   brunochemie 10.06.2021 um 18:27

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