Warum gibt e^ln(x) = x

Aufrufe: 146     Aktiv: 04.04.2022 um 22:25

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Hallo, warum gibt e^ln(x) = x? 
Sprich wie muss ich vorgehen, um diesen Ausdruck umzuformen, damit ich mir das vorstellen kann. 
Ich habe zuvor nie mit Logarithmen als Exponenten gerechnet. Dies ist aber nützlich für mich, damit ich z.B. Ausdrücke wie x^x umformen kann. 
Ich weiss, dass ln (e) = 1 ergibt. Hängt das eventuell zusammen? Die Logarithmengesetze kenne ich auch. 

Vielen Dank für Eure Hilfe.
gefragt

Punkte: 88

 

Wie habt ihr dann den Logarithmus respektive die Exponentialfunktion definiert?   ─   karate 04.04.2022 um 20:51

Wir haben schon die Definition gelernt, welche von maqu erwähnt wurde. Also dass der Logarithmus nach dem Exponenten sucht und dass der natürliche Logarithmus ln die Basis e hat. Mit "normalen" Zahlen habe ich keine Probleme, die Ausdrücke umzuformen. Z.B. 2^3 = 8 --> log zu Basis 2 & Numerus 8 = 3
Bei ln(e^x) sehe ich direkt, dass es x gibt. Mit der umgekehrten Darstellung habe ich noch Mühe..
Sinn macht es auf jeden Fall :D
  ─   nas17 04.04.2022 um 21:12
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1 Antwort
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Das Logarithmieren ist die Umkehroperariin zum Exponentieren, wie z.B. das Wurzelziehen zum Potenzieren die Umkehroperation ist. Damit gilt dann einfach $e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)$.
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Vielen Dank! Habe es mal an einem Beispiel versucht. e^x = 20. Somit gibt ln(20) = x
Wenn ich jetzt in der ersten Gleichung x ersetze, erhalte ich: e^ln(20) = 20 :)
  ─   nas17 04.04.2022 um 21:19

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Oder allgemein ausgedrückt: Der Logarithmus zur Basis $a$ von $b$, sprich $x=\log_a(b)$, ist die Lösung der Gleichung $a^x=b$. Im Falle des natürlichen Logarithmus $\ln$ ist $a=\mathrm{e}$ die Eulersche Zahl.   ─   cauchy 04.04.2022 um 22:25

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